Beweis Elemente der Geometrie

Erste Frage Aufrufe: 769     Aktiv: 06.05.2020 um 20:28
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Hallo ihr Lieben,

folgenden Beweis sollen wir durchführen:

 

Zu jeder Geraden g  mit g = [a,b,c] und jedem Punkt P=(u,v) gibt es genau eine Gerade h mit h=[d,e,f] mit P ∈ h und h ll g.

Als Tipp haben wir folgende Sätze gegeben:

1. Fall: P ∈ g

2. Fall: p ∉ g

Unterfälle:

2.1: g=[1,0,c]

2.2: g= [a,1,c]

 

Beim 1.Fall ist es ja quasi so, dass wenn P∈g folgt daraus, dass g und h echt parallel sind, weil h dann auf g drauf liegt, oder?

Beim 2. Fall: p ∉ g hab ich absolut keine Ahnung wie ich vorgehen soll.. Muss ich da über die normale Geradengleichung gehen ax+by+c=0? Aber wenn ja, wie? Gehe ich bei 2.1 dann davon aus, dass b=0 ist?

 

Danke für eure Hilfe :)

Kim

 

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wenn ich das richtig verstanden habe, willst du das parallelen axiom für R^2 nachweisen, richtig?

dann würde ich den ersten fall machen so wie du gesagt hast. 

dann würde ich den fall 2.2 auf 2.1 zurückführen mit dem argument basistrafo

dann musst du dir im fall 2.1 überlegen, dass ja g dann parallel zur y-achse ist (oder x-achse, je nachdem wie die schreibweise zu verstehen ist)

wenn du dann zu gegebenem pkt P eine gerade ohne schnittpunkt mit g finden willst (außerhalb der parallelen zur y-achse), kannst du dir überlegen dass das dann darstellbar ist als {(x, a*x + b) : x aus R} aka eine verschobene lineare funktion - die muss dann aber in jedem falle einen schnittpkt mit g haben

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Hey,

lieben Dank für deine schnelle Antwort.

Mein Problem ist, dass wir sowas wie die Basistransformation etc. noch gar nicht hatten und wir dürfen nur mit dem Beweisen was wir schon hatten..

Deswegen meine Überlegung das über die lineare Gleichung zu machen, aber bin trotzdem noch ratlos.
Aber mit dem 1. Fall bin ich froh, das werde ich dann so jetzt begründen.

Lieben Dank :)   ─   kimkylie 06.05.2020 um 19:57
wenn du aber den fall 2.1 hinbekommst, kannst du auch einfach schreiben, dass 2.2 analog geht (würde ich jedenfalls machen) vorausgesetzt du kannst verstehen, dass es irgendwie keinen unterschied macht ob man den R^2 dreht und dass der beweis für jedes g eigentlich gleich abläuft (aus sicht von der geraden g hat man mit fall 2.1 alle möglichkeiten für die lage von P abgedeckt)   ─   b_schaub 06.05.2020 um 20:28

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