Sin(x) <= x

Aufrufe: 579     Aktiv: 06.01.2022 um 16:54

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Moin,
 
wir haben in der letzten VL Sinus als Im( e^(i*x) ) definiert, bzw. als Reihe.
 
Wir wissen, dass Sinus stetig ist und meine Idee war zu zeigen, dass eine Funktion f, die Sin(x) abbildet, und eine Funktion g, die x (Winkelhalbierende) abbildet, nur einen einzigen Schnittpunkt haben (und zwar bei 0). Dementsprechend sind die Funktionswerte der einen Funktion immer <= als die Werte der anderen Funktion, weil ein weiterer Schnittpunkt notwendig wäre, um die Ungleichung ,,umzudrehen". Da Sinus (pi/2) = 1 ist, folgt daraus direkt, dass f(pi/2) <= g(pi/2) gilt und f(x)<= g(x) ist. 
 
Habe nur Probleme zu zeigen, dass auch wirklich kein weiterer Schnittpunkt folgt. Nach bisschen umformen habe ich 0 = -x^2/(3!)  + x^4/(5!) -+... raus. 
 
Jemand eine Idee, wie ich da weiter komme oder einfach von Grund auf einen einfacheren Lösungsweg? 
 
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Wegen $|\sin(x)|\leq 1$ reicht es aus, die Ungleichung für $|x|\leq 1$ zu zeigen. Das sollte mit der Reihendarstellung aber klappen.
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