Hey Sophie,
mittels Integrieren findet man tatsächlich einen Beweis für das dort beschriebene Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt und des Produktes.
Es gilt also:
\( \int_{-x_n}^{x_n} f(x) \; dx = k \cdot g \cdot h \)
Du integrierst also eine Parabel, die nach oben verschoben wurde und setzt das gleich dem Produkt aus \( g \) und \( h \). \( k \) ist dabei der Verhältnisfaktor, von dem wir später zeigen wollen, dass er \( k = \frac{2}{3} \) ist. Für die allgemeine Formel einer Parabel nehmen wir an: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)
Wenn man das alles mal etwas anders schreibt, dann bekommt man folgenden Zusammenhang:
\( 2 \cdot \int_0^{x_n} - a \cdot x^2 + c \; dx = k \cdot (2 x_n \cdot c) \)
Hier kannst du dir zunächst erstmal überlegen, wie man auf diese Aussage kommt, \( x_n \) bezeichnet dabei die Nullstelle der Funktion auf der positiven \( x \) - Achse.
Jetzt kann man das Integral auf der linken Seite berechnen.
Anschließend kann man noch für die Parabel die Nullstelle \( x_n \) berechnen. Und wenn du diesen Zusammenhang dann einsetzt, bekommst du eine Gleichung mit der du das entsprechende \( k \) berechnen kannst.
Du kannst es ja gern mal probieren. Wenn noch Fragen bleiben, dann meld dich hier einfach nochmal!
VG
Stefan
M.Sc., Punkte: 6.68K
Etwas unsicherer bin ich beim Parallelogramm. Da könnte man versuchen über den Anstieg der Gerade zwischen \( P_1 \) und \(P_2 \) den Punkt \( D \) zu berechnen. \( D \) muss also der Punkt auf der Parabel sein, wo der Anstieg gleich dem Anstieg der Gerade zwischen \( P_1 \) und \( P_2 \) ist, das kannst du dann über die Ableitung bestimmen. Wenn du \( D \) hast, kannst du den Abstand von \( D \) mit der Gerade berechnen und hast damit die Höhe des Parallelogramms. Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet sich ja durch Grundseite mal Höhe.
Wie gesagt, das sind keine ausgereiften Gedanken und ich weiß nicht ob es nicht einen schnelleren oder eleganteren Weg gibt. Aber so würde ich es wohl erstmal probieren. ─ el_stefano 17.11.2020 um 16:38
LG ─ sophie.gutmann 17.11.2020 um 16:15