Binomialkoeeffizient (n+1 über k) Umwandlungslogik

Aufrufe: 770     Aktiv: 10.10.2021 um 17:11

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Hallo zusammen, ich weiß nicht, unser Skript ist irgendwie fern von jeglichen Erklärungen  und meine Fachbücher kommen erst noch.

Kann mir bitte jemand die Logik hinter dieser Auflösung des Binomialkoeffizenten erklären? Ich habe ehrlichgesagt keinerlei blassen Schimmer, wo die Logik hinter den Umwandlungen steckt. Mir ist komplett schleierhaft warum ich z.B. k-1 unten schreibe.


Falls die Graphik nicht funktioniert:
n+1  =    n     +     n
  k           k            k-1 


Die Formel für den Koeeffizienten wäre ja eigentlich n über k = n!/k!(n-k)! Würde ich jetzt ein Beispiel machen mit k=3, n = 6  würde die linke seite der Gleichung heißen 7 über 3, das wäre lt. Pascalschem Dreieck 35, die rechte Seite würde nach dem obigen Schema 6 über 3 (=20) + 6 über 2 = 15 ergeben, die Gleichung ginge also auf.

bei n+1 über k hätte ich vermutlich folgendermaßen umgeformt: (n+1)!/ k!(n-k)! Das wäre aber dann 7!/(3!*3!) = 5040/36=140 und somit falsch. Ich wäre dankbar wenn mir jemand die Herleitung der Formel erklären könnte.
        

EDIT vom 10.10.2021 um 16:40:

Hallo zusammen, ich weiß nicht, unser Skript ist irgendwie fern von jeglichen Erklärungen  und meine Fachbücher kommen erst noch.

Kann mir bitte jemand die Logik hinter dieser Auflösung des Binomialkoeffizenten erklären? Ich habe ehrlichgesagt keinerlei blassen Schimmer, wo die Logik hinter den Umwandlungen steckt. Mir ist komplett schleierhaft warum ich z.B. k-1 unten schreibe.


Falls die Graphik nicht funktioniert:
n+1  =    n     +     n
  k           k            k-1 


Die Formel für den Koeeffizienten wäre ja eigentlich n über k = n!/k!(n-k)! Würde ich jetzt ein Beispiel machen mit k=3, n = 6  würde die linke seite der Gleichung heißen 7 über 3, das wäre lt. Pascalschem Dreieck 35, die rechte Seite würde nach dem obigen Schema 6 über 3 (=20) + 6 über 2 = 15 ergeben, die Gleichung ginge also auf.

bei n+1 über k hätte ich vermutlich folgendermaßen umgeformt: (n+1)!/ k!(n-k)! Das wäre aber dann 7!/(3!*3!) = 5040/36=140 und somit falsch. Ich wäre dankbar wenn mir jemand die Herleitung der Formel erklären könnte.


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Nach Deiner Logik wäre ja $\binom{n}k=\binom{n+1}k$, das kann natürlich nicht sein.
Mit n=6, k=3, ist nach Def. $\binom{n+1}k=\binom{7}3=\frac{7!}{3!\,4!}$.
Die Gleichung, das sog. Additionstheorem für Binomialkoeffizienten, weist man am besten von rechts nach links nach (Faustregel: von der komplizierteren zur einfacheren Seite). Dazu setzt man die Definitionen ein (aber richtig), bringt auf den Hauptnenner und formt noch ein klein wenig um.
Fang mal an, wenn Du hängenbleibst, lade Deine Rechnung hier hoch (Frage bearbeiten, Bild hochladen, icon links), dann schauen wir wo das Problem ist.
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Hallo mikn, danke für deine Hilfe!
Die Seite nimmt mir die Grafik nicht. Mein Problem denke ich, ist nicht das Beweisen, sondern vielmehr das nachvollziehen, wieso man das genau so umstellt, wie das Skript es sagt. Sind das "das ist einfach so - Lern das einfach" Sachen wie Formeln für Flächeninhalt, Volumen usw. oder muss ich wissen wie man das herleitet und warum man es deart umstellt? Wenn ich das ausrechne, was du so schön eingefügt hast, komme ich auch auf 35, wie es sein muss. Nur ich verstehe die Logik nicht hinter der Umstellweise.
  ─   gast12 10.10.2021 um 16:34

Das Skript sagt einfach nur
\binom{n+1}{k}= \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1} (Ich hoffe dieses mal wird es richtig angezeigt. Die Grafik ist im JPG - Format wird aber einfach nicht angenommen. ) und ich verstehe nicht weshalb ich
Das Skript ist nicht frei im Web verfügbar. Es wäre auch vermutlich eines der Schlechtesten, die je verfasst wurden. Ich bin mir bewusst, dass man eben versucht, den Anfangsterm anders darzustellen, damit man leichter beweisen kann. Mein Problem ist einfach dass ich das nicht einmal verstehe, weil ich keinerlei Herleitungslogik sehe, mir ist einfach nicht bewusst, weshalb der Term n+1 über k umgeformt wird zu n über k plus n über (k-1). Ja es ist richtig. Nur ich weiß nicht wie ich darauf komme, dass ich das so umstelle.
  ─   gast12 10.10.2021 um 17:02

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.