Grenzwert bei verschiedenen rekursiven Folgen.

Erste Frage Aufrufe: 52     Aktiv: 10.06.2021 um 09:22

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Ich betrachte folgende rekursive Formel:  . Ich habe hier bemerkt, bzw. aus der Aufgabenstellung ging hervor, dass bei verschiedene Anfangswerten, sich die Formel verschieden verhält. Zb. mit a0 = 0.5 ist sie beschränkt, mit a0 = 2 ist sie nicht beschränkt und es gibt auch einen Wert für welchen sie konstant ist. Mir stellt sich nun die Frage wie man diese Eigenschaften erklären kann. Gibt es eine Vorgehensweise um die Grenzwerte für rekursive Formeln zu berechnen bei verschiedenen Anfangswerten? Oder muss man einfach die Formel betrachten und daraus logische Rückschlüsse ziehen?

Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe!
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Es gibt grundsätzlich keinen Weg, der bei jeder rekursiv definierten Folge funktioniert. Allerdings gibt es verschiedene Argumentationen, die oft funktionieren. Beschränktheit ist so eine Eigenschaft, die zu untersuchen sich oft lohnt. Eine andere wäre Monotonie. Und dann gibt es so Sätze wie "beschränkte monotone Folgen sind konvergent", die dir dann schonmal sagen, ob eine Folge konvergent ist.
Sobald du weißt, dass eine Folge konvergent ist, kannst du oft folgenden Trick verwenden, um den Grenzwert zu finden (jetzt für deine Folge gerechnet). Sei $a:=\lim_{n\to\infty}a_n$. Wende auf beide Seiten deiner Rekursionsvorschrift den Limes an, dann erhälst du $$a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(a_n^2-\frac12\right)=a^2-\frac12$$ und du kannst $a$ durch Lösen der quadratischen Gleichung bestimmen.
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Vielen Dank für deine Antwort. Das ist schonmal ein sehr hilfreicher Tipp, verschiedene Eigenschaften in Sätzen anzuwenden.

Ich habe jedoch noch eine Folgefrage. Bei meiner Aufgabenstellung wurde nach einem Anfangswert gefragt für den die Folge konstant ist. In den Lösungen wurde dann auch genau dein Trick verwendet um diesen Anfangswert zu finden. Kannst du mir das erklären? Wieso dieser Trick mal den Grenzwert ergibt und mal einen Anfangswert für den die Folge konstant ist?

  ─   mathebaer 09.06.2021 um 16:45

Das ist nicht mein Trick, das ist viel einfacher. Wenn die Folge konstant sein soll, muss z.B. \(a_1=a_0\) gelten, d.h. \(a_0=a_1=a_0^2-\frac12\). Hier argumentiert man nicht über den Limes, sondern dass zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder konstant sein müssen. Aber ja, man kommt auf das gleiche Ergebnis, das ist ja auch logisch: Schließlich konvergiert eine konstante Folge ja gegen den Wert, den sie überall annimmt.   ─   stal 10.06.2021 um 09:22

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