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Es gibt grundsätzlich keinen Weg, der bei jeder rekursiv definierten Folge funktioniert. Allerdings gibt es verschiedene Argumentationen, die oft funktionieren. Beschränktheit ist so eine Eigenschaft, die zu untersuchen sich oft lohnt. Eine andere wäre Monotonie. Und dann gibt es so Sätze wie "beschränkte monotone Folgen sind konvergent", die dir dann schonmal sagen, ob eine Folge konvergent ist.
Sobald du weißt, dass eine Folge konvergent ist, kannst du oft folgenden Trick verwenden, um den Grenzwert zu finden (jetzt für deine Folge gerechnet). Sei $a:=\lim_{n\to\infty}a_n$. Wende auf beide Seiten deiner Rekursionsvorschrift den Limes an, dann erhälst du $$a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(a_n^2-\frac12\right)=a^2-\frac12$$ und du kannst $a$ durch Lösen der quadratischen Gleichung bestimmen.
Sobald du weißt, dass eine Folge konvergent ist, kannst du oft folgenden Trick verwenden, um den Grenzwert zu finden (jetzt für deine Folge gerechnet). Sei $a:=\lim_{n\to\infty}a_n$. Wende auf beide Seiten deiner Rekursionsvorschrift den Limes an, dann erhälst du $$a=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(a_n^2-\frac12\right)=a^2-\frac12$$ und du kannst $a$ durch Lösen der quadratischen Gleichung bestimmen.
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stal
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Das ist nicht mein Trick, das ist viel einfacher. Wenn die Folge konstant sein soll, muss z.B. \(a_1=a_0\) gelten, d.h. \(a_0=a_1=a_0^2-\frac12\). Hier argumentiert man nicht über den Limes, sondern dass zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder konstant sein müssen. Aber ja, man kommt auf das gleiche Ergebnis, das ist ja auch logisch: Schließlich konvergiert eine konstante Folge ja gegen den Wert, den sie überall annimmt.
─
stal
10.06.2021 um 09:22
Ich habe jedoch noch eine Folgefrage. Bei meiner Aufgabenstellung wurde nach einem Anfangswert gefragt für den die Folge konstant ist. In den Lösungen wurde dann auch genau dein Trick verwendet um diesen Anfangswert zu finden. Kannst du mir das erklären? Wieso dieser Trick mal den Grenzwert ergibt und mal einen Anfangswert für den die Folge konstant ist?
─ mathebaer 09.06.2021 um 16:45