Die Lösung ist sehr unübersichtlich.
In der zweiten Zeile sollte wahrscheinlich \( 0 \cdot x = (0+0) \cdot x = 0 \) stehen (also kein Implikationspfeil, sondern ein Gleichheitszeichen). Didaktisch wäre hier auch die Reihenfolge \( (0+0) \cdot x = 0 \cdot x = 0 \) schöner gewesen. Jedenfalls verstehe ich nicht, warum da Axiom 3 steht. Diese Tatsache folgt mit den Körperaxiomen und hat mit dem Vektorraum nichts zu tun.
Dann fehlen im weiteren Verlauf Implikationspfeile, was natürlich auch sehr unglücklich ist.
Dein erstes Fragezeichen kann ich genauso wenig nachvollziehen wie du. Was soll \( -0 \cdot x \) eigentlich heißen? \( (-0) \cdot x \) oder \( -(0 \cdot x) \)? Dass Axiom 4 angeführt wird, lässt auf \( -(0 \cdot x) \) schließen, aber dann ist die Gleichung einfach eine Tatsache und hat nichts mit den vorherigen Rechnungen zu tun. Und auch, wenn \( (-0) \cdot x \) gemeint wäre, dann bekommt man etwas weiter unten dann Probleme.
Dein zweites Fragezeichen ist so erstmal auch nicht nachvollziehbar. Wahrscheinlich liegt hier wieder ein Schreibfehler vor und das \( x \) sollte eigentlich nicht da sein.
Die Lösung wirkt auch insgesamt sehr unästhetisch. Schöner wäre natürlich eine Gleichungskette (Es werden in der Lösung ja eh nur Termumformungen auf der linken Seite gemacht. Warum schreibt man das dann nicht einfach in eine Gleichung?).
Ich hätte es beispielsweise so gemacht:
\( 0 \cdot x \) \( \overset{(3)}{=} 0 \cdot x + 0 \) \( \overset{(4)}{=} 0 \cdot x + (0 \cdot x + (-(0 \cdot x))) \) \( \overset{(1)}{=} (0 \cdot x + 0 \cdot x) + (-(0 \cdot x)) \) \( \overset{(8)}{=} (0+0) \cdot x + (-(0 \cdot x)) \) \( = 0 \cdot x +( - (0 \cdot x)) \overset{(4)}{=} 0 \)