Erstmal finde ich, dass es eine gute Verwendung dieses Forums ist, wenn Du Deine Präsentation von uns prüfen lässt.
Zu a): Alles richtig. Tipp zur Verbesserung: Schreibe nicht $a=-0.8$, wenn das erst weiter unten hergeleitet wird (Regel: Von oben nach unten schreiben). Und in den Bildern könntest Du den Parabelbogen etwas bogenförmiger zeichnen. Der Knick bei 0 ist etwas zu stark.
Zu b): Dein $F(x)$ ist falsch. Ist aber egal, weil Du es eh nicht brauchst. Es wird $(f(x))^2$ integriert (nicht $f(x)$). Rechne das erstmal aus, bilde dann die Stammfunktion, setze dann die Grenzen ein. Durch Ausklammern kannst Du das etwas vereinfachen, es geht aber alles locker ohne TR (und auch schneller). Schreibe Brüche nicht als Dezimalzahlen.

Sehr ordentlich gearbeitet und übersichtlich. Allerdings stimmt das Endergebnis nicht, weil du mit der falschen Funktion gerechnet hast. Ansonsten noch einige Anmerkungen: 

- Die Skizze ist sehr gut, die $y$-Achse passt so aber von der Skalierung nicht. Wenn man das anmalt, sollte man da evtl. drauf achten. 

- $b$ muss man gar nicht berechnen, sondern ist der $y$-Achsenabschnitt. Das macht einen besseren Eindruck, wenn man das auch so sagt. Mathematiker sind faul und wollen Rechnen vermeiden. ;) 

- Statt "$x=0{,}5$ muss $y=0{,}6$" würde ich " es muss $f(0{,}5)=0{,}6$ gelten" schreiben.

- Verwende in der Stammfunktion maximal gekürzte Brüche statt Dezimalzahlen mit Perioden (allgemein sollte man immer mit Brüchen rechnen). 

- Falls das Integral auch ohne Taschenrechner berechnet werden kann (sollte man von einem LK erwarten können), dann würde es hier sicherlich Eindruck machen, dies zu tun. Ist nicht schwierig. Verwende die richtige Funktion (Vorzeichenfehler) und nutze einfach die Achsensymmetrie der Parabel aus. Dann ist die Rechnung sehr einfach, kommt aber bestimmt beim Lehrer besser an. Im Integranden ist außerdem ein Klammerpaar zu viel. 

- Die Maßeinheit am Ende würde ich klammern. Das ist so üblich, wenn man während der Rechnung die Einheiten weglässt.