Implikation direkter Beweis (Logik)

Aufrufe: 41     Aktiv: 25.05.2021 um 18:25

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Ich habe leider Probleme, die Logik eines Beweises zu durchschauen. Beispielsweise ist zu beweisen, dass a² + b² >= 2ab
1. Regel. Man soll nicht voraussetzen, was zu beweisen ist, da das was vorauszusetzen ist, richtig oder falsch sein kann, es wäre also sinnvoll, zuerst einmal (eine Möglichkeit) eine Voraussetzung, die rückwirkend (rückimpliziert wird) herauszubekommen, die aber nicht direkt im Beweis vorkommt (aus dem Buch Mathematisches Denken entnommen)
a² + b² >= 2ab impliziert bspw.: a² + b² - 2ab >= 0 (die Frage, die sich in diesem Zusammenhang stellt, ist, woher weiß man, dass a² + b² - 2ab >= 0 (was (a-b)² bedeuten würde semantisch, also mathematisch richtig ist, es ist zwar unter dieser Voraussetzung, mathematisch richtig, aber nicht sicher allgemein richtig.
Demnach könnten folgende Fälle auftreten
0 1 (a² + b² >= 2ab kann falsch sein, die Schlussfolgerung ist richtig)
1 1 (a² + b² >= 2ab kann richtig sein, die Schlussfolgerung ist richtig)
1 0 ist ausgeschlossen, denn die Schlussfolgerung ist, wenn die Annahme stimmt richtig
0 0 (Theoretisch, allgemein betrachtet, könnte es sein, dass die Schlussfolgerung für sich betrachtet ja falsch ist, oder geht es rein um die Implikation?
Bspw.: -1 = 1 => -3 = 5 (-3 = -5, wäre ja dasselbe wie (a - b)² >= 0, ich weiß ja per se nicht, ob (a-b)² >= 0 stimmt? - trotzdem geht man davon aus (warum?), außer ich mache die vollständige Induktion, setze es voraus und stelle fest, dass a²+b² >= 2ab, und damit (a-b)² richtig wäre?)
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Unter dieser Annahme, dass die Schlussfolgerung stimmt, und die stimmt theoretisch auch bei (0 0), will man jetzt mit dieser Schlussfolgerung, rückimplizieren zum Beweis, sodass:
(a - b)² >= 0 ===>  a² + b² >= 2ab ist
... bis eben aus
(a-b)², a² + b² >= 2ab wird, alles logisch, ich verstehe nur nicht, wieso man mit dieser Methode voraussetzt, dass (a-b)² >= 0 als richtig voraussetzt, es kann doch auch falsch sein, die Implikation stimmt ja dennoch?

Vielen Dank :)

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Ein direkter Beweis ist von der Form \(A\wedge (A\Rightarrow B)\)
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