Nullstellen:
\(\sin(2x)-\cos(2x)=0\)
\(\sin(2x)=\cos(2x)\)
\(\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}=\tan(2x)=1\)
\(2x=\arctan(1)\)
\(x=\frac{\arctan(1)}{2}=\frac{\pi}{8}\)
Durch die Periodizität des Tangens und dadurch, dass die Nullstellen zwei mal pro Periode vorkommen, gilt:
\(x=\frac{\pi}{8}+k*\frac{\pi}{2}~~~~~~\text{mit}~~~~~~k\in\Bbb{Z}\)
Nullstellen:
\(f'(x)=2\cos(2x)+2\sin(2x)\)
\(f'(x)=0\)
\(\cos(2x)+\sin(2x)=0\)
\(\sin(2x)=-\cos(2x)\)
\(\tan(2x)=-1\)
\(x=-\frac{\pi}{8}\)
Da die Extrempunkte zwei mal pro Periode vorkommen gilt:
\(x=-\frac{\pi}{8}+k*\frac{\pi}{2}\)
Wendestellen:
Bedingung:
\(f''(x)=0\)
\(f''(x)=4(\cos(2x)-\sin(2x))\)
\(0=4(\cos(2x)-\sin(2x))\)
\(0=\cos(2x)-\sin(2x)\)
\(\sin(2x)=\cos(2x)\)
\(\tan(2x)=1\)
\(x=\frac{\pi}{8}+k*\frac{\pi}{2}~~~~~~\text{mit}~~~~~~k\in\Bbb{Z}\)
Um sicher zu gehen villeicht noch auf \(f'''(x)\neq0\) überprüfen. Die Wendepunkte liegen bei den Nullstellen.
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