Differentialrechnung

Aufrufe: 713     Aktiv: 24.02.2020 um 18:25

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Hallo zusammen, 

kann mir jemand helfen wie ich für die Nullstellen dieser Funktion Folgende Gleichung

0 = sin(2t) - cos(2t)

umstelle?

Danke:)

 

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Nullstellen:

\(\sin(2x)-\cos(2x)=0\)

\(\sin(2x)=\cos(2x)\)

\(\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}=\tan(2x)=1\)

\(2x=\arctan(1)\)

\(x=\frac{\arctan(1)}{2}=\frac{\pi}{8}\)

Durch die Periodizität des Tangens und dadurch, dass die Nullstellen zwei mal pro Periode vorkommen, gilt:

\(x=\frac{\pi}{8}+k*\frac{\pi}{2}~~~~~~\text{mit}~~~~~~k\in\Bbb{Z}\)

Nullstellen:

\(f'(x)=2\cos(2x)+2\sin(2x)\)

\(f'(x)=0\)

\(\cos(2x)+\sin(2x)=0\)

\(\sin(2x)=-\cos(2x)\)

\(\tan(2x)=-1\)

\(x=-\frac{\pi}{8}\)

Da die Extrempunkte zwei mal pro Periode vorkommen gilt:

\(x=-\frac{\pi}{8}+k*\frac{\pi}{2}\)

Wendestellen:

Bedingung:

\(f''(x)=0\)

\(f''(x)=4(\cos(2x)-\sin(2x))\)

\(0=4(\cos(2x)-\sin(2x))\)

\(0=\cos(2x)-\sin(2x)\)

\(\sin(2x)=\cos(2x)\)

\(\tan(2x)=1\)

\(x=\frac{\pi}{8}+k*\frac{\pi}{2}~~~~~~\text{mit}~~~~~~k\in\Bbb{Z}\)

Um sicher zu gehen villeicht noch auf \(f'''(x)\neq0\) überprüfen. Die Wendepunkte liegen bei den Nullstellen.

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