Hallo,

es handelt sich um eine unhomogene lineare DGL, die man so lösen könnte:

(x-3)*y'+y =  (x-3) /(x²+1) |:(x-3)

y‘ + y/(x-3) = 1/ (x²+1)

zuerst lassen wir die Inhomogenität auf der rechten Seite weg, dann müssen wir folgende homogene lineare DGL lösen:

y‘ + y/(x-3) = 0

y' = -y/(x-3)

dy/dx= -y/(x-3)

dy/(-y)= dx/(x-3)

-ln|y|=ln|x-3| + C

y = C/(x-3) (I)

Nun können wir mithilfe von Variation der Konstanten auch die inhogene Gleichung lösen:

y = C(x)/(x-3)

y' = C'(x)/(x-3) - C(x)/(x-3)²

y und y'  in die ursprüngliche DGl einsetzen ergibt:

C'(x)/(x-3) - C(x)/(x-3)² + C(x)/(x-3)² = 1/(x²+1)

C'(x)  = 1/(x²+1)

C(x) = INTEGRAL(1/(x²+1)) dx

C(x) = arctan(x) + C

Jetzt nur noch C(x) in (I) einsetzen und fertig

y = (arctan(x)+C)/(x-3)