Hauptwert komplexer Logarithmus

Aufrufe: 38     Aktiv: 29.06.2021 um 18:41

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Hallo, 

den komplexen Logarithmus zu bestimmen, habe ich jetzt folgende Vorgehensweise hingeschrieben: 



Stimmt das ertsmal so weit? 

Um den Hauptwert des komplexen Logarithmus zu berechnen, nimmt man da als k einfach 0 (und lässt somit 2pi weg)? 

Und: Weshalb berechnet man primär den Hauptwert und fragt selten nach anderen Lösungen? 

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Student, Punkte: 98

 
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1 Antwort
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Das ist soweit korrekt. Für den Hauptzweig wählt man das $k$ so, dass $\varphi+2k\pi\in(-\pi,\pi]$ gilt. Es ist einfach angenehm, so einen Hauptzweig zu definieren, denn dann hat man eine eindeutige Funktion, mit der man einfacher rechnen kann, wie wenn man immer mehrere Ergebnisse hat.
Ob man jetzt mit dem Hauptwert zufrieden ist oder alle Lösungen braucht, hängt von dem Problem ab, das man lösen will. Will man eine Gleichung lösen, dann braucht man z.B. alle Lösungen.
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Danke! Und woher weiß man, wie viele Lösungen es gibt? Also wie oft das k aus den natürlichen Zahlen definiert ist?   ─   mathwork 29.06.2021 um 18:27

Jede ganze Zahl ist möglich, genau das bedeutet ja $k\in\mathbb Z$.   ─   stal 29.06.2021 um 18:33

Dann gibt es doch aber auch unendlich viele Lösungen, oder?

Oder bedeutet das, wenn man in der Aufgabenstellung bspw. liest: "Die ersten drei Lösungen...."

Dann nimmt man k als k = 0,1,2

?
  ─   mathwork 29.06.2021 um 18:40

Genau, es gibt unendlich viele Werte des komplexen Logarithmus, einfe jür jede ganze Zahl. "Die ersten drei Lösungen" ist nicht wirklich ein wohldefinierter Ausdruck, aber ich würde auch von $k=0,1,2$ ausgehen.   ─   stal 29.06.2021 um 18:41

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