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Hallo hier hattest du eben deinen Weg kommentiert und es war auch schon fast die komplette Lösung der Aufgabe nur ich weiß nicht wie weit du gekommen bist weil Kommentar weg ist, brauchst du noch eine Hilfe?
─
mathejean
14.06.2022 um 21:19
Ja, bin selbst noch weiter gekommen, aber doch noch nicht ganz fertig Hier mein Stand:
Habe etwas rumprobiert und komme jetzt auf Folgendes:
A kann man ja in
\(A= T \cdot J \cdot {T}^{-1} \) mit T als Transformationsmatrix zerlegen.
Das wären
\( T =\) $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4 \\
-1 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}$
\( {T}^{-1}= \) $\begin{pmatrix}
6 & -2 & 1 \\
-8 & 3 & -2 \\
3 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}$
Mit J=D+N
\(N=\) $\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$
\(D=\) $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}$
ergibt sich dann mit dem binomischen Lehrsatz \( (D+N)^n= \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} N^kD^{n-k} \) und mit der Bemerkung dass \( {N}^{2} =0 \), dass
\( A^n= T[ \binom{ n }{ 0 } N^0D^n+\binom{ n }{ 1 } N^1D^{n-1}]T^{-1} \)
Wenn das so richtig ist, habe ich es ja eigentlich, sofern ich deine Aussage \( {s}_{n} = A^ns_0 \) ohne Beweis verwenden darf. Ist das so?
Mit diesem \(A^n\) habe ich dann die (b) versucht, komme dann aber irgendwann auf ziemlich blöde Werte (wie bspw. \(3\cdot2^{200}-802\) ....)
Kann mir nicht vorstellen, dass das so richtig ist.
Kannst du mir da helfen? ─ sreal 14.06.2022 um 21:58
Habe etwas rumprobiert und komme jetzt auf Folgendes:
A kann man ja in
\(A= T \cdot J \cdot {T}^{-1} \) mit T als Transformationsmatrix zerlegen.
Das wären
\( T =\) $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4 \\
-1 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}$
\( {T}^{-1}= \) $\begin{pmatrix}
6 & -2 & 1 \\
-8 & 3 & -2 \\
3 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}$
Mit J=D+N
\(N=\) $\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$
\(D=\) $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}$
ergibt sich dann mit dem binomischen Lehrsatz \( (D+N)^n= \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} N^kD^{n-k} \) und mit der Bemerkung dass \( {N}^{2} =0 \), dass
\( A^n= T[ \binom{ n }{ 0 } N^0D^n+\binom{ n }{ 1 } N^1D^{n-1}]T^{-1} \)
Wenn das so richtig ist, habe ich es ja eigentlich, sofern ich deine Aussage \( {s}_{n} = A^ns_0 \) ohne Beweis verwenden darf. Ist das so?
Mit diesem \(A^n\) habe ich dann die (b) versucht, komme dann aber irgendwann auf ziemlich blöde Werte (wie bspw. \(3\cdot2^{200}-802\) ....)
Kann mir nicht vorstellen, dass das so richtig ist.
Kannst du mir da helfen? ─ sreal 14.06.2022 um 21:58
Die Binomialkoeffizienten sind mir klar, den Beweis sehe ich aber leider gar nicht.
Und kannst du was zu den Berechnungen zu (b) sagen? ─ sreal 14.06.2022 um 22:16
Und kannst du was zu den Berechnungen zu (b) sagen? ─ sreal 14.06.2022 um 22:16
Wenn die Ergebnisse also nicht zwingend "schön" sein müssen, hätte ichs. Danke an euch beide :)
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sreal
14.06.2022 um 22:40
Ja Ergebnisse sind nicht immer schön, du kannst mal versuchen mit selbe Technik Fibonacci-Folge zu lösen. Aber noch wichtige Hinweis zu binomische Lehrsatz: darfst du nur verwenden weil \(DN=ND\) gilt, schreibe das auch besser dazu, es wäre sehr schade wenn du keine volle Punktzahl bekommen würdest
─
mathejean
15.06.2022 um 08:52