Folge von Vektoren, Jordansche Normalform

Aufrufe: 158     Aktiv: 15.06.2022 um 09:35

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Hallo,
mir ist bei der (a) leider nicht bewusst, inwiefern mir die Jordansche Normalform weiterhilft, um auf eine Formel für s_n zu kommen. Würde mich da über einen Tipp freuen. Die Normalform auszurechnen war kein Problem

J= $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}$
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Es gilt induktiv: \(s_n=A^n s_0\). Mit JNF kannst du \(A^n\) berechnen: Zerlege additiv in nilpotenge und diagonale Matrix und wende binomische Lehrsatz an. Du brauchst aber auch Transformationsmatrix
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Hallo hier hattest du eben deinen Weg kommentiert und es war auch schon fast die komplette Lösung der Aufgabe nur ich weiß nicht wie weit du gekommen bist weil Kommentar weg ist, brauchst du noch eine Hilfe?   ─   mathejean 14.06.2022 um 21:19

Ja, bin selbst noch weiter gekommen, aber doch noch nicht ganz fertig Hier mein Stand:

Habe etwas rumprobiert und komme jetzt auf Folgendes:

A kann man ja in
\(A= T \cdot J \cdot {T}^{-1} \) mit T als Transformationsmatrix zerlegen.
Das wären
\( T =\) $\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4 \\
-1 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}$

\( {T}^{-1}= \) $\begin{pmatrix}
6 & -2 & 1 \\
-8 & 3 & -2 \\
3 & -1 & 1 \\
\end{pmatrix}$

Mit J=D+N

\(N=\) $\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$

\(D=\) $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{pmatrix}$

ergibt sich dann mit dem binomischen Lehrsatz \( (D+N)^n= \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} N^kD^{n-k} \) und mit der Bemerkung dass \( {N}^{2} =0 \), dass

\( A^n= T[ \binom{ n }{ 0 } N^0D^n+\binom{ n }{ 1 } N^1D^{n-1}]T^{-1} \)


Wenn das so richtig ist, habe ich es ja eigentlich, sofern ich deine Aussage \( {s}_{n} = A^ns_0 \) ohne Beweis verwenden darf. Ist das so?

Mit diesem \(A^n\) habe ich dann die (b) versucht, komme dann aber irgendwann auf ziemlich blöde Werte (wie bspw. \(3\cdot2^{200}-802\) ....)
Kann mir nicht vorstellen, dass das so richtig ist.
Kannst du mir da helfen?
  ─   sreal 14.06.2022 um 21:58

Beweise mal $s_n=A^ns_0$. Das ist sehr einfach und sollte man eigentlich auch sofort sehen. Die Binomialkoeffizienten lassen sich übrigens auch "berechnen".   ─   cauchy 14.06.2022 um 22:02

Die Binomialkoeffizienten sind mir klar, den Beweis sehe ich aber leider gar nicht.
Und kannst du was zu den Berechnungen zu (b) sagen?
  ─   sreal 14.06.2022 um 22:16

Fang vorne an: $s_1=As_0$, $s2=As_1=\dots$ Siehst du es?

Was ist denn an den Werten blöd? Klar, sie sind "groß", aber durch $D^{100}$ bekommst du ja in der Diagonalmatrix schon einen recht großen Wert.
  ─   cauchy 14.06.2022 um 22:26

Wenn die Ergebnisse also nicht zwingend "schön" sein müssen, hätte ichs. Danke an euch beide :)   ─   sreal 14.06.2022 um 22:40

Ja Ergebnisse sind nicht immer schön, du kannst mal versuchen mit selbe Technik Fibonacci-Folge zu lösen. Aber noch wichtige Hinweis zu binomische Lehrsatz: darfst du nur verwenden weil \(DN=ND\) gilt, schreibe das auch besser dazu, es wäre sehr schade wenn du keine volle Punktzahl bekommen würdest   ─   mathejean 15.06.2022 um 08:52

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