$Im(z^2) > Im(z)$ skizzieren

Erste Frage Aufrufe: 427     Aktiv: 22.12.2021 um 22:17

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Ich soll die Menge aller $z \in \mathbb{C}$ mit $Im(z^2) > Im(z)$ in der komplexen Zahlenebene skizzieren.

Mein Ansatz dazu:
$z= x+iy$
$Im(z)=y$
$Im(z^2)=2xy$

Sei $y>0$, dann ist $2xy>y |:y|:2 \iff x > \frac {1}{2}$
Sei $y<0$, dann ist $2xy>y |:y|:2 \iff x < \frac {1}{2}$
Sei $y=0$, dann ist $2x*0 > 0 \iff 0>0$, ein Widerspruch
Sei $\frac {1}{2}$, dann ist $y>y$, auch ein Widerspruch

Daraus habe ich abgeleitet, dass die Menge M aller komplexen Zahlen für die $Im(z^2) > Im(z)$ gilt, definiert sein muss als:
$$M=\{z \in \mathbb{C}| z=x+iy, y \in \mathbb{R} \neq 0, x \in \mathbb{R} \neq \frac {1}{2} \}$$

Wenn ich mir das grafisch veranschulichen würde, wären also die ausgeschlossenen Werte zum einen die Realteilachse, also $y=0$ und die Senkrechte, zur Imaginärteilachse-Achse parralel verlaufende, Gerade mit $x=\frac {1}{2}$

Ist das so vom Prinzip her korrekt und die Fallunterscheidung so ausreichend?
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Nicht ganz. Fallunterscheidung ist korrekt, aber die 4. Zeile ist unnötig. Es sind in den ersten drei Zeilen alle Fälle für y behandelt worden.
Die Folgerung zu M ist aber nicht richtig. Mach eine Skizze, komplexe Zahlenebene, und markiere die Lösungsmenge für den 1. Fall und die für den 2. Fall. Dann siehst Du sofort wie M aussieht, M ist ja die Vereinigung der beiden.
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Danke erst einmal für deine Antwort.
Ich habs mir mal eingezeichnet und glaube den Fehler den du meinst gefunden zu haben.
Alle z für die die Ungleichung gilt, habe ich mal in der Menge $M_1 = \{ z \in \mathbb{C}| z = x+iy, y>0 \land x > 0,5 \vee y<0 \land x<0,5\}$
Die ausgeschlossenen Werte für die, die Ungl. nicht gilt: $M_2 = \{ z \in \mathbb{C}| z = x+iy, y=0 \vee x=0,5 \}$

Grafisch würde der 2. Quadrant gar nicht getroffen werden und der 4. Quadrant nur bis $x<0,5$. Der 3. Quadrant wäre komplett drin und der 1. nur für $x>0,5$. Ich hoffe mal das passt jetzt so.
  ─   etefano 22.12.2021 um 20:41

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