Fläche zwischen Parabel und Geraden berechnen

Aufrufe: 69     Aktiv: 27.04.2021 um 16:36

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Gegeben sind: 

Parabel: \(y^2=4x\)
Gerade: \(y = -2x +4\)

Da soll ich die Fläche berechnen, einmal mit der Integration nach x und einmal nach y

\(y_1 = 2\sqrt(x)\) und \(y_2 = -2\sqrt(x)\)

Die 2 y-Werte hab ich mit der Gerade gleichgesetzt und habe \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4 \) herausbekommen.

Wären das dann die Grenzen für mein Integral?

Integration nach x:

\(\int_1^4 6x-4dx\) 

Hier hab ich 33 als Ergebnis, es müsste aber 9 herauskommen...

Wo hab ich einen Fehler?
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1 Antwort
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Es lohnt sich immer ein Blick auf die Graphen:
https://www.desmos.com/calculator/emoxklxx17?lang=de

Welche Fläche sollst du jetzt genau berechnen?

Wo kommt bei dir das Integral von \(6x-4\) her?
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geantwortet

Punkte: 1.66K
 

Die eingeschlossene Fläche von Parabel und Geraden.
Ich hab \(4x -(-2x+4)\) gerechnet. Und davon das Integral mit den Grenzen 4 und 1.
  ─   universeller 26.04.2021 um 20:56

Bitte einmal des Graphen anschauen. Ich empfehle dir die Flächen aufzusplitten - das wäre eine Möglichkeit!

Wenn es um die eingeschlossene Fläche geht, dann musst du die Beträge nehmen und bei 0 anfangen!
Schau mal, ob du mir folgen kannst (mit Blick auf den Graphen!)

Fläche von 0 bis 1 (Schnittpunkt) unter \(y_1\)

+ Fläche von 1 bis 2 unter \(-2x+4\)

+ Fläche von 0 bis 2 unter \(|y_2|\)

+ Fläche von 2 bis 4 (zweiter Schnittpunkt) unter \( |(-2x+4) - y_2|\)
  ─   math stories 26.04.2021 um 21:38

Dann wären das 4 Integrale, die man dann aufaddieren muss?   ─   universeller 26.04.2021 um 21:52

Eine andere vielleicht einfachere Möglichkeit ist wirklich nach y integrieren. Auch hier würde ich dir empfehlen einfach den Graphen anzuschauen!

Die Parabel liegt hier auf der Seite und die Gerade auch (alles quasi um 90 Grad gedreht).

Du kannst also beide Gleichungen nach \(x\) umformen und dann die Differenz integrieren:

\(\int\limits_{-4}^{2} (2-\dfrac{y}{2}) - \dfrac{y^2}{4} ~dy\)

Die Integralgrenzen sind wieder die Schnittpunkte (aber diesmal aus y-Sicht).

Ich persönlich integriere lieber über x, aber das kannst du machen, wie du willst.
  ─   math stories 26.04.2021 um 21:56

Ja, das wären 4 Integrale ( kannst du die Flächen dazu sehen?)
Alternativ wie grad geschrieben aus y-Sicht denken!
  ─   math stories 26.04.2021 um 21:57

Ich muss einmal nach x integrieren und einmal nach y. Ja, das mit den Flächen hab ich jetzt auch verstanden, Danke.
Zu den 4 Integralen, bekommst du da 9 heraus oder eine andere Zahl?
  ─   universeller 26.04.2021 um 22:09

Und beim Integral nach y bekomm ich -3 raus. Ich glaub, ich mach da doch noch was falsch   ─   universeller 26.04.2021 um 22:17

Ok , ich komm jetzt bei der Integration nach x auf 9. Hab aber nur mit 2 Integralen gerechnet und mit 2 Dreiecken.   ─   universeller 26.04.2021 um 22:44

Bei der Integration nach y hab ich jetzt auch 9. Ich glaube, du hattest einen Rechenfehler bei der Umformung.   ─   universeller 26.04.2021 um 22:49

Vielen Dank für die Hilfe :)   ─   universeller 26.04.2021 um 22:49

Super, dass du es raus hast! 🎉😎   ─   math stories 27.04.2021 um 16:36

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