Wenn wir zum Zeitpunkt $t$ genau $x(t)$ viele Bakterien haben und sich jedes von ihnen mit Wahrscheinlichkeit $p\Delta t$ teilt, haben wir zum Zeitpunkt $x(t+\Delta t)$ dann $x(t)+x(t)\cdot p\Delta t$ Bakterien, denn im Ewartungswert teilen sich dann $p\Delta t\cdot x(t)$ viele Bakterien. Umformen ergibt $$\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}=px(t)$$ und der Grenzübergang $\Delta t\to 0$ liefert links die Ableitung, also die Differentialgleichung $x'(t)=px(t).$