Abbildungsrechnung

Aufrufe: 188     Aktiv: 06.10.2021 um 23:05

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Liebes Matehfragen-Team,

wenn f: M22 (K) -> a+d definiert durch (a    b -> a+d

                                                               c    d)
ist dann die Abbildung nicht surjektiv, da b und c nicht im Bild von f liegen?

Und nicht injektiv, weil nicht jedes Element im Bild von f genau ein Urbild besitzt?

Gruß Hannah

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Ich glaube, du verstehst die Definition von Surjektivität hier falsch. Nur weil die Variablen $b$ und $c$ nicht auf der rechten Seite der Zuordnung stehen, heißt das noch nicht, dass die Abbildung nicht surjektiv ist. Wie ist dieser Begriff genau definiert?

Zur Injektivität: Warum ist das so? Du musst es schon auch mathematisch begründen/nachweisen.
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Selbstständig, Punkte: 12.87K

 

f heißt surjetiv, wenn jedes Element n e N im Bild von f liegt.
Wie beweise ich hier?

Behauptung: Die Abbildung f ist nicht injektiv (es geht um obige Abbildung).

Beweis: Seien a und a' in f M22(K) mit f(a) = f(a'). Dann gilt (a+d) ist nicht gleich (a'+d). Also ist a ungleich a', das heißt, f ist nicht injektiv.
Stimmt das? Kommt mir komisch vor.

Gruß Hannah
  ─   user74b5b1 03.10.2021 um 18:00

Die Definition stimmt immer noch nicht. Bitte die genaue Definition aufschreiben. Warum ist $n\in \mathbb{N}$? Das kommt nirgends bei der Abbildung vor. Es ist wichtig, sich Definitionen genau anzuschauen. Erst wenn man die Definition ordnungsgemäß aufgeschrieben (und im besten Falle auch verstanden hat), kann man sich überlegen, wie man für einen Beweis vorgeht.

Der Beweis zur Injektivität funktioniert so auch nicht. Sicherlich ist $a+d\neq a'+d$. Aber damit beides gleich ist, müsste ja $a=a'$ folgen und das wiederum würde gerade Injektivität bedeuten, die hier aber nicht vorliegt. Außerdem ist deine Schlussfolgerung falsch. Die Elemente aus $M_{2,2}(K)$ sind Matrizen und keine einzelnen Zahlen. Findest du zwei Matrizen mit $f(A)=f(B)$, aber $A\neq B$?
  ─   cauchy 03.10.2021 um 18:14

Wie ich Dir bei einer Deiner vorigen Frage schon sagte: Kläre zunächst (als allererstes), was Def- und Wertebereich sind. Dann wird vieles klarer.   ─   mikn 03.10.2021 um 18:30

Der Definitionsbereich ist hier die Menge der M22 (K) Matrizen, der Wertebereich ist K (habe ich oben falsch aufgeschrieben).

Behauptung: Die Funktion ist surjetiv.

Beweis: Jedes Element der Menge M22(K) liegt im Bild von f, also in K. Damit ist die Funktion surjektiv.

Behauptung: Die Funktion ist nich injektiv.

Beweis: Jedes Element im Bild von F, also von K, hat nicht genau ein Urbild, da ich ja beliebige Werte des Definitionsbereichs M22 (K) einsetzen kann, haben hier die Elemente im Bild von F mindestens ein Urbild. Damit ist bewiesen, dass diese Funktion nich injektiv ist.
  ─   user74b5b1 03.10.2021 um 19:56

Die Def von surjektiv stimmt nicht, wie cauchy auch schon gesagt hat. Ich möchte seine Aussage, wie wichtig genaue Def als Grundlage sind, auch nochmal bekräftigen. Auch zu injektiv stimmt es nicht.
Arbeite diese Definitionen nochmal genau durch, an einfachen Beispielen, z.B. f(x)=x^2. Erst wenn diese komplett verstanden sind, ist es sinnvoll komplexere Funktionen wie diese hier anzugehen.
  ─   mikn 03.10.2021 um 20:08

Okay, ich muss die Aufgabe aber trotzdem zeitnah lösen. Habe jetzt einfachere Gleichungen und ihren Funktions- und Wertebreich berechnet. Nur, was hilft mir das für die Matrizen? Habt ihr mir bitte einen Hinweis?
  ─   user74b5b1 03.10.2021 um 21:46

Wenn Du es für einfache Funktionen, wie f(x)=x^2, verstanden hast, ist es für das obige Beispiel mit den Matrizen lächerlich einfach. Was hast Du bez. f(x)=x^2 gefunden, betr. D, W, surjektiv, injektiv?   ─   mikn 03.10.2021 um 21:49

Das zugrundeliegende Problem dürfte viel eher sein, dass OP ganz offensichtlich die Begiffe: Funktion, Definitionsbereich und Bildbereich (insbesondere Urbilder und Bilder) noch nicht verstanden hat. Dann wird es natürlich schwer zu verstehen, was Surjektivität und Injektivität bedeutet.   ─   zest 04.10.2021 um 01:05

Tipp: Am einfachsten kann man durch ein Gegenbeispiel nachweisen, dass eine Funktion nicht injektiv ist.   ─   mathejean 04.10.2021 um 15:06

Danke für den Tipp, dazu müsste ich die Thematik grundlegend verstanden haben.
Für f(x) = x^2 habe ich gefunden, dass vom Definitionsbereich und vom Wertebereich abhängig ist, ob die Funktion surjektiv, injektiv oder bijektiv ist. Bijektiv ist sie, wenn der Definitions- und der Wertebereich die reellen Zahlen mit der 0 sind. Surjektiv alleine ist sie, wenn der Wertebereich alle reellen Zahlen und der Definitionsbereich alle positiven reellen Zahlen mit der Null ist. Injektiv ist sie, wenn der Definitionsbereich alle positiven reellen Zahlen ist und der Wertebereich alle reellen Zahlen.
  ─   user74b5b1 04.10.2021 um 16:16

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Hm, vielleicht ist hier eine Begriffsunklarheit. Wertebereich W = Menge der Werte, die formal als Funktionswerte in Frage kommen. Bildmenge B = Menge der beim Defbereich D wirklich auftretenden Funktionswerte (also ist B Teilmenge von W). Manche verstehen auch Wertebereich = Bildmenge (ist aber verwirrend). Prüfe Deine Ergebnisse damit nochmal.
Es ist richtig, dass die Ergebnisse von D und B abhängen (W ist eine reine Formalität). Beachte bijektiv $\iff$ surjektiv und injektiv (kann also nichts anderes rauskommen als bei surjektiv/injektiv). Und wir brauchen noch genaue Begründungen entlang der Definition von surjektiv/injektiv.
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Lehrer/Professor, Punkte: 17.38K

 

Die angesprochene Verwirrung lässt sich durch verwenden der Begriffe Ziel- und Bildmenge komplett vermeiden.   ─   mathejean 04.10.2021 um 16:40

@mathejean: ja, das wäre besser, wenn es denn in allen Büchern usw. gemacht würde. Wird es aber nicht, leider.   ─   mikn 04.10.2021 um 16:49

F(x) = x^2 sie bijektiv ist, wenn D und B die reellen Zahlen mit der 0 sind, da dann jedem y-Wert ein x-Wert zugeordnet werden kann. Surjektiv ist sie, wenn B alle reellen Zahlen und D alle positiven reellen Zahlen mit der Null ist, weil dann jedem y-Wert mindestens ein x-Wert zugeordnet werden kann. Injektiv ist sie, wenn D alle positiven reellen Zahlen ist und B alle reellen Zahlen, weil dann jedem y-Wert höchstens ein x-Wert zugeordnet werden kann.   ─   user74b5b1 04.10.2021 um 16:55

Fast richtig. Wie gesagt, bijektiv kommt als letztes.
surjektig: Findest Du zu jedem $y\in R$ einen x-Wert mit $f(x)=y$?
injektiv: ok.
bijektiv: ok
Spricht besser hier nicht von "y-Wert ein x-Wert zugeordnet", weil wir nur eine Zuordnung haben, die heißt f. Beachte genau (wortwörtlich) die Def der Begriffe.

  ─   mikn 04.10.2021 um 17:12

Okay, danke.

Für mich ist es für die Matrize jetzt leider nicht einfach. Bei der Funktion f=f^2 habe ich eine Abbildung aufgezeichnet. Wie gehe ich jetzt bei der Matrize vor?
  ─   user74b5b1 04.10.2021 um 18:31

Ganz genauso, nur ist jetzt eben D=M22(K) und W=K. Die Abb. f ist auch gegeben. Wo ist das Problem? Hast Du den Funktionsbegriff wirklich verstanden? Weiteres Beispiel: D= Menge aller Menschen, f(x)=Schuhgröße von x. Injektiv? Surjektiv? Warum? Warum nicht?   ─   mikn 04.10.2021 um 18:56

Das Beispiel ergibt ohne konkreten Zielbereich wie $W = \{1,2,....,50\}\subseteq \mathbb N$ nicht viel Sinn. Und dann muss man sich darauf einigen, was die kleinste bzw. größte überhaupt sinnvolle Schuhgröße sein soll. Das ist eher verwirrend als hilfreich für OP denke ich.   ─   zest 04.10.2021 um 19:14

@zest: Mach's nicht komplizierter als es ist. Zielbereich ergibt sich formal (sagte ich oben schon, weißt Du sicher selbst). Es geht um den Funktionsbegriff. injektiv, surjektiv. Die müssen erstmal verstanden sein.   ─   mikn 04.10.2021 um 19:39

Es ist halt unklar, was "Zielbereich ergibt sich formal" überhaupt bedeuten soll. Zur Definition einer Funktion gehört immer Definitions- und Zielbereich. Der Zielbereich ergibt sich nicht "formal" aus irgendwas. Auch dass der Zielbereich eine reine Formalität sein soll halte ich für grundlegend falsch.   ─   zest 04.10.2021 um 20:09

Ich weiß, was Du meinst. Ich hab auch nicht gesagt, dass der ZB eine reine Formalität im Sinne von unnötig ist. Dass der ZB bei der Frage nach surj/inj eine Rolle spielt, ist dem Frager bereits bekannt (s.o.). Wie gesagt, es geht um etwas anderes.
Warte doch ab, was der Frager damit macht.
  ─   mikn 04.10.2021 um 20:20

Hallo Mikn, in dem Fall der Schuhgrößen würde ich sagen die Funktion ist bijektiv, also surjektiv und injektiv, weil jedem Menschen genau eine Schuhgröße zugerordnet werden kann (vorausgesetz es handelt sich um erwachsene Menschen).   ─   user74b5b1 05.10.2021 um 11:29

Hat den jeder Mensch eine andere Schuhgröße (injektiv)?   ─   mathejean 05.10.2021 um 11:38

Hallo Mikn,
dann ist die Funktion der Matrix surjektiv, weil sich zu jedem y e K der Zielmenge (a+d e K, ergibt etweder 0 oder 1) mindestens ein x-Wert mit f (ab/cd) = a+d finden lässt (mehrere Matrizen haben hier jeweils dasselbe y).
  ─   user74b5b1 05.10.2021 um 11:42

Hallo Mathejean,
nein. Dann ist die Funktion der Schuhgrößen surjektiv, weil sich zu einer Schuhgröße mindestens ein Mensch finden lässt. Sie ist nicht injektiv, weil sich nicht zu jeder Schuhgröße höchstens ein Mensch finden lässt und damit ist sie auch nicht bijektiv.
  ─   user74b5b1 05.10.2021 um 11:46

Zur Schuhgröße: surjektiv: hängt vom Zielbereich ab. injektiv/bijektiv: stimmt. Denk das gründlich durch. Das klingt alles weiter wacklig bei Dir.
Zur Matrix: Wieso ist a+d nur 0 oder 1? Gib zu y aus K konkret eine Matrix an, um surjektiv zu begründen. Einfach nur behaupten reicht nicht.
  ─   mikn 05.10.2021 um 12:00

Hallo Mkn,
Zur Schuhgröße:
Besteht der Zielbereich aus Schuhgrößen von erwachsenen Menschen und der D aus erwachsenen Menschen, dann ist die Funktion surjektiv, weil sich zu jeder Schuhgröße mindestens ein Mensch finden lässt.
Besteht der Zielbereich aus Schuhgrößen von Kindern und Erwachsenen und der D aus erwachsenen Menschen, ist sie nicht surjektiv, weil sich nicht zu jeder Schuhgröße mindestens ein Mensch finden lässt. Besteht der D dagegen aus erwachsenen Menschen und Kindern (ohne Babys), dann ist sie surjektiv, weil sich zu jeder Schuhgröße mindestens ein Mensch finden lässt.
Besteht der Zielbereich aus Schuhgrößen von Kindern und der D aus Erwachsenen, ist die Funktion nicht surjektiv, weil sich vermutlich zu keiner Schuhgröße ein Mensch finden lässt. Besteht der D allerdings in dem Fall aus Kindern ist sie wiederum surjektiv, weil sich zu jeder Schuhgröße ein Mensch finden lässt.
Gehen diese Gedanken in die richtige Richtung?
Zur Matrix: Die Bemerkung mit a+d ist entweder 0 oder 1 war Quatsch. Ich war gedanklich noch bei einer anderen Aufgabe mit speziellen Körpern.
Mit neuen Gedanken versuche ich es noch einmal.

Behauptung: Die Funktion M22(K) -> K definiert durch (a b / c d ) -> a+d für alle (a b / c d) e M22(K) ist surjektiv.
Sei die Matrix (1 2/5 3) e K in der Zielmenge dieser Funktion. Dann lassen sich mit f (a,b,c,d) = a+d mehr als ein x-Wert finden z.B. die Matrizen (2 4/6 2) und (4 0/0 8). Das sich also zu jedem y hier mindestens ein x-Wert finden lässt, ist die Funktion surjektiv, womit die Behauptung bewiesen ist.

Behauptung: Die Funktion ist nicht injektiv.
Da die Funktion wie oben beschrieben surjektiv ist und sich zu jedem y mehr als ein x-Wert finden lässt und damit nicht höchstens ein x-Wert, so ist die Funktion nicht injektiv, womit die Behauptung bewiesen wäre.

Was meint ihr dazu?

Gruß Hannah
  ─   user74b5b1 05.10.2021 um 16:00

Schuhgrößen: sehr gute Überlegungen.
Matrizen: das ist noch verschwommen. Für surjektiv muss es zu jedem y e K eine Matrix M geben mit f(M)=y. Also: y beliebig, gibt so eine Matrix M an (die hängt natürlich von y ab).
injektiv: Dabei hilft dervorherige Beweis von surjektiv schon: Und "nicht injektiv" beweist man mit einem konkreten Gegenbeispiel.
Nochmal als Regel: "zu jedem y gibt es...." Beweis allgemein (mit y, aber ohne Zahlen).
Widerlegung mit Gegenbeispiel: "für ein(!) y gibt es nicht..." Da gibt man ein konkretes y an. Und begründet natürlich.
  ─   mikn 05.10.2021 um 16:18

surjektiv: In die Beh. gehört nicht das "für alle a,b,c,d". f ist surjektiv, fertig (Beispiel: f(x)=x^2 ist ja auch nicht für alle x surjektiv). Beweis: Deine Matrix liefert f(M)=a+d, es muss aber y rauskommen.
Injektiv: Wie ich oben schon sagte, es ist ein konkretes y anzugeben. Welches ist das? Und für dieses y muss es zwei versch. Matrizen M1 und M2 geben mit f(M1)=f(M2)=y, damit es als Gegenbeispiel taugt. Es gibt hier nicht zu einer Matrix zwei Matrizen, sondern zu einem y zwei Matrizen.
Kennst Du die Pfeildiagramme für Funktionen?
http://www.math.uni-konstanz.de/~huynh/Vorkurs2015/Vorlesung_12.pdf
Denke beide Definitionen nochmal gründlich durch.
  ─   mikn 05.10.2021 um 22:47

Du hast Deinen Kommentar oben editiert. Das hab ich nur zufällig gesehen, es wird uns nicht angezeigt. Wenn Du sowas machst, schreib bitte nächstes Mal unten einen kurzen neuen Kommentar mit dem Hinweis auf den editierten weiter oben. Sonst sieht das keiner.
Ja, jetzt hast Du's! Gut, dass Du durchgehalten hast.
nicht injektiv: Beweis perfekt.
surjektiv: Bessere Formulierung: zu y e K def. M=(y/2 0/ 0 y/2). Dann ist f(M)=y, also surjektiv bewiesen. Sonst würde man fragen, was ist denn b und c? Man muss nur irgendein M finden mit f(M)=y, dann nimmt man ein möglichst einfaches. Du merkst natürlich, es wäre kein Problem, weitere M's zu finden mit f(M)=y, womit schon klar ist, dass f nicht injektiv sein kann.
  ─   mikn 06.10.2021 um 22:53

Schwere Geburt. Okay, noch mal alles frisch durchdacht, danke für den Link:

Behauptung: Die Funktion M22(K) -> K definiert durch (a b / c d ) -> a+d ist surjektiv.

Beweis:
Zu jedem y e K gibt es eine Matrix (y/2 b / c y/2) e M22(K) für die f(M) = y gilt. Damit ist bewiesen, dass die Funktion surjektiv ist.

Behauptung: Die Funktion ist nicht injektiv.

Beweis: Für ein y gibt es nicht höchstens eine Matrix für die f (M)=y gilt:
Sei y=4, dann gibt es zwei Matrizen: (1 5 / 8 3) und (4 9 / 10 0) mit f(M1)=f(M2)=y. Daraus folgt, dass die Funktion nicht injektiv ist.

Ist das Kind jetzt endlich auf der Welt?
Gruß Hannah
  ─   user74b5b1 06.10.2021 um 23:03

danke, ok, alles gut. Hatte es ja gesehen.   ─   mikn 06.10.2021 um 23:05

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