Ich versuche eine neue, hoffentlich klarere Antwort:
Jeder Weg ist ein String von 25 Zeichen, davon sind 15 R's und 10 U's. Und jeder solche String ist ein Weg, andere Reihenfolge der U's und R's gibt andere Wege.
Die Frage ist also: Wieviel verschiedene Strings gibt es mit dieser Eigenschaft?
Wir müssen 15 Positionen von 1 bis 25 wählen, an diese kommt ein R. An alle anderen kommt zwangsläufig ein U.
Die Frage ist also: Wieviele Möglichkeiten gibt es 15 Zahlen aus $\{1,2,3,...,25\}$ zu wählen?. Und das sind eben $\binom{25}{15}$.
Alternativ können wir auch zuerst die 10 Positionen für die U's wählen (alle anderen gehen an R). Gibt $\binom{25}{10}=\binom{25}{15}$.

 

Hallo und willkommen auf mathefragen.de!

Im allgemeinen finde ich das mit der Reihenfolge und ohne Reihenfolge immer sehr verwirrend. Deswegen merke ich mir sowas gar nicht erst. 

Wo die 25 herkommt, sollte klar sein. Wir müssen insgesamt 25 Entscheidungen treffen. Von diesen 25 Entscheidungen gehen nun aber 10 nach unten und 15 nach rechts. Wenn wir uns einen Weg also vorstellen als Reihenfolge unserer Entscheidungen, z.B. URURR ... (U=unten, R=links), dann können wir uns also die Fragen stellen: Wie viele Möglichkeiten gibt es, sich 15 mal für R zu entscheiden? Oder: Wie viele Möglichkeiten gibt es, sich 10 mal für U zu entscheiden?

Die Antworten auf die Fragen sind dann jeweils der Binomialkoeffizient.