Kombinatorik - Anzahl aller möglichen Wege

Erste Frage Aufrufe: 311     Aktiv: 03.06.2022 um 19:52

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Hallo zusammen,

es handelt sich um folgende Aufgabe:



Dabei soll die Lösung der Binomialkoeffizient sein, sprich n über k mit n = 25 und k = 10 oder 15.

Mein Problem mit der Lösung ist, dass ich nicht verstehe, warum wir die Reihenfolge nicht beachten? Es spielt doch einen Unterschied, ob wir (10x runter, 15x rechts) oder (9x runter, 15x rechts, 1x runter) haben, da es hier auf die Anzahl der unterschiedlichen Wege ankommt.

Außerdem verstehe ich auch nicht ganz, wieso k entweder 10 oder 15 sein kann, wenn k doch die Anzahl der ausgewählten Elemente darstellt? Sprich in diesem Falle müsste k ebenfalls = 25 sein, da wir uns 25x für eine Wegrichtung entscheiden müssen?

 

Hoffentlich kann mir jemand mit meiner Denkblockade helfen ^^

Gruß

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Ich versuche eine neue, hoffentlich klarere Antwort:
Jeder Weg ist ein String von 25 Zeichen, davon sind 15 R's und 10 U's. Und jeder solche String ist ein Weg, andere Reihenfolge der U's und R's gibt andere Wege.
Die Frage ist also: Wieviel verschiedene Strings gibt es mit dieser Eigenschaft?
Wir müssen 15 Positionen von 1 bis 25 wählen, an diese kommt ein R. An alle anderen kommt zwangsläufig ein U.
Die Frage ist also: Wieviele Möglichkeiten gibt es 15 Zahlen aus $\{1,2,3,...,25\}$ zu wählen?. Und das sind eben $\binom{25}{15}$.
Alternativ können wir auch zuerst die 10 Positionen für die U's wählen (alle anderen gehen an R). Gibt $\binom{25}{10}=\binom{25}{15}$.

 

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@cauchy Bei Deinem letzten Satz (hast Du ja oben auch schon gesagt) stimme ich Dir 100%ig zu.
Die Verwirrung kommt durch den Begriff Reihenfolge. Die Reihenfolge der R's und U's im string ist nicht egal. Es ist aber egal, ob man z.B. zuerst die erste Position von U auswählt und danach die zweite, oder umgekehrt.
Also: Reihenfolge der Position im string: nicht egal. Zeitliche(!) Reihenfolge der Auswahl: egal.
  ─   mikn 03.06.2022 um 19:52

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Hallo und willkommen auf mathefragen.de!

Im allgemeinen finde ich das mit der Reihenfolge und ohne Reihenfolge immer sehr verwirrend. Deswegen merke ich mir sowas gar nicht erst. 

Wo die 25 herkommt, sollte klar sein. Wir müssen insgesamt 25 Entscheidungen treffen. Von diesen 25 Entscheidungen gehen nun aber 10 nach unten und 15 nach rechts. Wenn wir uns einen Weg also vorstellen als Reihenfolge unserer Entscheidungen, z.B. URURR ... (U=unten, R=links), dann können wir uns also die Fragen stellen: Wie viele Möglichkeiten gibt es, sich 15 mal für R zu entscheiden? Oder: Wie viele Möglichkeiten gibt es, sich 10 mal für U zu entscheiden?

Die Antworten auf die Fragen sind dann jeweils der Binomialkoeffizient.
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Selbstständig, Punkte: 25.68K

 

Mein Verständnisproblem ist aber, wieso wir die Reihenfolge eben nicht beachten, was ja beim Binomialkoeffizienten der Fall ist.

Wenn wir beispielsweise die Reihenfolge nicht beachten, dann ist jeder Weg den wir gehen "der selbe" im Sinne, dass wir (15x Runter, 10x Rechts) gehen. Beachten wir aber die Reihenfolge dann haben wir jeweils (15x Runter, 10x Rechts), (14x Runter, 10x Rechts, 1x Runter), (14x Runter, 9x Rechts, 1x Runter, 1x Rechts) usw. Daran könnten wir die verschiedenen Wege die man gehen kann zählen. Ohne Reihenfolge können wir die Wege doch nicht unterscheiden?
  ─   usera8a3f1 03.06.2022 um 12:57

Fang doch mit nem einfachen Beispiel an: nicht 10x15-Brett, sondern 2x3, oder 3x4, und schreib alle Wege auf und zähle. Dann wird vieles klar.   ─   mikn 03.06.2022 um 13:13

Nehmen wir ein 2x2 Brett: Beachten wir die Reihenfolge um ans Ziel zu kommen gibt es beispielsweise den Weg (Rechts, Rechts, Runter, Runter) oder (Runter, Runter, Rechts, Rechts) - Würden wir die Reihenfolge nicht beachten, dann würden die beiden Wege jetzt als ein Ergebnis/Weg zusammengefasst werden.

Für mich ist das widersprüchlich.
  ─   usera8a3f1 03.06.2022 um 13:21

Ich sehe es auch so, dass es auf die Reihenfolge ankommt, graphisch sind das verschiedene Wege und müssten entsprechend gezählt werden.
Edit: Trotzdem ist die Lösung richtig.
  ─   mikn 03.06.2022 um 18:30

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Für mich kommt die Verwirrung daher, dass Du, cauchy, sagst, 15mal nach rechts, 10 mal nach unten.... in welcher Reihenfolge egal. Jede Reihenfolge der U-R-Entscheidung gibt einen getrennt zu zählenden Weg.   ─   mikn 03.06.2022 um 19:31

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.