Kombinatorik - Anzahl aller möglichen Wege

Erste Frage Aufrufe: 113     Aktiv: 03.06.2022 um 19:52

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Hallo zusammen,

es handelt sich um folgende Aufgabe:



Dabei soll die Lösung der Binomialkoeffizient sein, sprich n über k mit n = 25 und k = 10 oder 15.

Mein Problem mit der Lösung ist, dass ich nicht verstehe, warum wir die Reihenfolge nicht beachten? Es spielt doch einen Unterschied, ob wir (10x runter, 15x rechts) oder (9x runter, 15x rechts, 1x runter) haben, da es hier auf die Anzahl der unterschiedlichen Wege ankommt.

Außerdem verstehe ich auch nicht ganz, wieso k entweder 10 oder 15 sein kann, wenn k doch die Anzahl der ausgewählten Elemente darstellt? Sprich in diesem Falle müsste k ebenfalls = 25 sein, da wir uns 25x für eine Wegrichtung entscheiden müssen?

 

Hoffentlich kann mir jemand mit meiner Denkblockade helfen ^^

Gruß

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Ich versuche eine neue, hoffentlich klarere Antwort:
Jeder Weg ist ein String von 25 Zeichen, davon sind 15 R's und 10 U's. Und jeder solche String ist ein Weg, andere Reihenfolge der U's und R's gibt andere Wege.
Die Frage ist also: Wieviel verschiedene Strings gibt es mit dieser Eigenschaft?
Wir müssen 15 Positionen von 1 bis 25 wählen, an diese kommt ein R. An alle anderen kommt zwangsläufig ein U.
Die Frage ist also: Wieviele Möglichkeiten gibt es 15 Zahlen aus $\{1,2,3,...,25\}$ zu wählen?. Und das sind eben $\binom{25}{15}$.
Alternativ können wir auch zuerst die 10 Positionen für die U's wählen (alle anderen gehen an R). Gibt $\binom{25}{10}=\binom{25}{15}$.

 

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Und bei dieser Auswahl spielt es eben keine Rolle, in welcher Reihenfolge wir diese Positionen auswählen. Ich merke, ich hab mich da auch ziemlich unglücklich ausgedrückt in den Kommentaren. Aber sich grundsätzlichen den Binomialkoeffizienten als Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge zu merken, halte ich für problematisch.   ─   cauchy 03.06.2022 um 19:45

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@cauchy Bei Deinem letzten Satz (hast Du ja oben auch schon gesagt) stimme ich Dir 100%ig zu.
Die Verwirrung kommt durch den Begriff Reihenfolge. Die Reihenfolge der R's und U's im string ist nicht egal. Es ist aber egal, ob man z.B. zuerst die erste Position von U auswählt und danach die zweite, oder umgekehrt.
Also: Reihenfolge der Position im string: nicht egal. Zeitliche(!) Reihenfolge der Auswahl: egal.
  ─   mikn 03.06.2022 um 19:52

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Hallo und willkommen auf mathefragen.de!

Im allgemeinen finde ich das mit der Reihenfolge und ohne Reihenfolge immer sehr verwirrend. Deswegen merke ich mir sowas gar nicht erst. 

Wo die 25 herkommt, sollte klar sein. Wir müssen insgesamt 25 Entscheidungen treffen. Von diesen 25 Entscheidungen gehen nun aber 10 nach unten und 15 nach rechts. Wenn wir uns einen Weg also vorstellen als Reihenfolge unserer Entscheidungen, z.B. URURR ... (U=unten, R=links), dann können wir uns also die Fragen stellen: Wie viele Möglichkeiten gibt es, sich 15 mal für R zu entscheiden? Oder: Wie viele Möglichkeiten gibt es, sich 10 mal für U zu entscheiden?

Die Antworten auf die Fragen sind dann jeweils der Binomialkoeffizient.
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Mein Verständnisproblem ist aber, wieso wir die Reihenfolge eben nicht beachten, was ja beim Binomialkoeffizienten der Fall ist.

Wenn wir beispielsweise die Reihenfolge nicht beachten, dann ist jeder Weg den wir gehen "der selbe" im Sinne, dass wir (15x Runter, 10x Rechts) gehen. Beachten wir aber die Reihenfolge dann haben wir jeweils (15x Runter, 10x Rechts), (14x Runter, 10x Rechts, 1x Runter), (14x Runter, 9x Rechts, 1x Runter, 1x Rechts) usw. Daran könnten wir die verschiedenen Wege die man gehen kann zählen. Ohne Reihenfolge können wir die Wege doch nicht unterscheiden?
  ─   usera8a3f1 03.06.2022 um 12:57

Fang doch mit nem einfachen Beispiel an: nicht 10x15-Brett, sondern 2x3, oder 3x4, und schreib alle Wege auf und zähle. Dann wird vieles klar.   ─   mikn 03.06.2022 um 13:13

Die Reihenfolge wird hier nicht beachtet, weil es egal ist, wann du nach rechts und wann du nach unten gehst. Du landest immer am Ziel, solange du 15 mal nach rechts und 10 mal nach unten gehst. Wann du was tust, spielt dabei aber keine Rolle. Vergleiche dazu auch das Beispiel mit dem Lotto.   ─   cauchy 03.06.2022 um 13:21

Nehmen wir ein 2x2 Brett: Beachten wir die Reihenfolge um ans Ziel zu kommen gibt es beispielsweise den Weg (Rechts, Rechts, Runter, Runter) oder (Runter, Runter, Rechts, Rechts) - Würden wir die Reihenfolge nicht beachten, dann würden die beiden Wege jetzt als ein Ergebnis/Weg zusammengefasst werden.

Für mich ist das widersprüchlich.
  ─   usera8a3f1 03.06.2022 um 13:21

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Es geht um den Weg von A nach Z. Das ist EIN Weg und es spielt keine Rolle, wie dieser Weg gegangen wird. Deswegen muss keine Reihenfolge beachtet werden, um DIESEN Weg zu beschreiben.

Beispiel Lotto: 1, 5, 10, 20, 23, 42 ist EINE Ziehung und 42, 23, 1, 5, 10, 20 beschreibt DIESELBE Ziehung. Also, Reihenfolge egal.
Beispiel Code: 1, 2, 4, 2 ist EIN vierstelliger Code für ein Zahlenschloss. Der Code 4, 2, 1, 2 kann das Schloss aber nicht öffnen. Das ist ein ANDERER Code. Hier ist die Reihenfolge also zu beachten.
  ─   cauchy 03.06.2022 um 17:55

Ich sehe es auch so, dass es auf die Reihenfolge ankommt, graphisch sind das verschiedene Wege und müssten entsprechend gezählt werden.
Edit: Trotzdem ist die Lösung richtig.
  ─   mikn 03.06.2022 um 18:30

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Deswegen schrieb ich in meiner Antwort, dass ich das mit Reihenfolge und ohne Reihenfolge Käse finde, weil es in vielen Fällen einfach nicht richtig passt. Fakt ist aber, dass du jeden Weg, der von A nach Z führt, als String codieren kannst, der 25 Zeichen lang ist und die Buchstaben U und R für unten bzw. rechts enthält. Jetzt ist aber klar, dass du exakt 15 mal nach rechts und 10 mal nach unten gehen musst, um bei Z anzukommen. In welcher Reihenfolge dies geschieht, spielt aber keine Rolle. Folglich musst du dir nur überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, bei 25 Zeichen 10 mal U oder 15 mal R auszuwählen, die jeweils anderen Zeichen sind damit automatisch festgelegt. Das Ergebnis ist jeweils der Binomialkoeffizient (Auswahl von $k$ aus $n$), der aufgrund der Symmetrie in beiden Fällen identisch ist. Die Lösung ist somit völlig richtig.

Die Verwirrung kommt also daher, dass man den Binomialkoeffizienten IMMER als Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge interpretiert und genau von dieser Interpretation rate ich dringend ab. Es ist sinnvoller, wenn man sich merkt, was der Binomialkoeffizient wirklich bedeutet, nämlich die Anzahl der Möglichkeiten aus $n$ Elementen genau $k$ Elemente auszuwählen.
  ─   cauchy 03.06.2022 um 19:06

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Für mich kommt die Verwirrung daher, dass Du, cauchy, sagst, 15mal nach rechts, 10 mal nach unten.... in welcher Reihenfolge egal. Jede Reihenfolge der U-R-Entscheidung gibt einen getrennt zu zählenden Weg.   ─   mikn 03.06.2022 um 19:31

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