ich komme bei dem Beispiel nicht weiter. Ich bin einfach komplett verpeilt bei diesem Beispiel....
ich hab folgendes versucht zu veranschaulichen: 

Reflex.: (ich schreib jetzt nicht die ganze math. notation hin, ist mir etwas zu blöd ;-) ) 
ARA <=> amin <= amax was immer stimmt, also ist die relation reflex.

Symmetrie: hier komm ich nicht weiter
Wenn ARB => BRA
also amin <= amax ==> bmin <= amax ?

Antisymmetrie: ARB und BRA ==> A = B
amin <= bmax und bmin <= amax ==> A=B

Ich glaube das war ein Hirnfurz kA. wie auf das gekommen bin. [daraus folgt, dass amin <= bmin = amax und bmax = amin d.b. amin = bmax <= bmin = amax so mit ist amin = bmin = amax = bmax daraus folgt a = b, weil die Teilmengen A und B nur ein Element besitzen, dass gleich groß sein muss.] 

Transitivität: Wenn ARB und BRC ==> ARC 
amin <= bmax und bmin <= cmax ==> amin <= cmax
wie beweise ich das?