Gibt es zwischen 0 und 1 mehr Brüche als zwischen 10 und 11?

Erste Frage Aufrufe: 145     Aktiv: 26.06.2022 um 14:17

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Die Cantorsche Paarungsfunktion findet die Hälfte aller Brüche im Intervall zwischen 0 und 1. Trifft das tatsächlich so zu?
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Ja, das trifft tatsächlich zu. Siehe auch https://mathoverflow.net/questions/362791/what-fraction-of-fractions-does-cantors-famous-sequence-enumerate oder https://math.stackexchange.com/questions/3708845/relative-abundance-of-rationals-in-cantors-bijection und vor allem https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf S. 237f.

Bis zu jedem Index k ist die Anzahl der durch k = (m + n - 1)(m + n - 2)/2 + m indizierten Brüche m/n aus dem Intervall (0, 1] etwa so groß wie die der indizierten Brüche aus dem Intervall (1, oo).
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, ...
Mit zunehmendem Index wird die Gleichheit immer genauer, im Limes ist sie exakt.

Da alle Mengen von Brüchen in den Einheitsintervallen (n, n+1] aufgrund der Translationsinvarianz der reellen Achse gleich sein müssen, bleiben nur zwei Alternativen: Entweder glaubt man, dass im Limes alles wie durch Zauberhand gerichtet wird, oder man erkennt, dass Cantors Nummerierung der Brüche inkorrekt ist.

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