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Hallo zusammen,
Mir ist folgende Algebra Aufgabe gegeben:
Sei \( G \) eine Gruppe, welche aus mindestens zwei Elementen besteht. Zeige, dass \( G \) genau dann keine nicht-trivialen Unterguppen besitzt, wenn \( G \) zyklisch und von Primzahlordnung ist.

Ich hätte mir dazu einmal folgendes überlegt:

\( |G|=\operatorname{ord}(g)=n \). Wenn es \( k \in \mathbb{N}, 1<k<n \) gibt, sodass \( n=m k, m \in \mathbb{N} \), dann ist die Ordnung von \( g^{k} \in G \) mehr als \( 1{ }^{*} \) und höchstens *\( m \), da

\(\left(g^{k}\right)^{m}=g^{m k}=g^{n}=1\)

und

1<k<n  1 g^k =G

Somit kann es doch kein solches k geben, womit n eine Primzahl wäre?

Stimmt das mal soweit bzw. reicht das oder muss ich noch was präzisieren?

Danke für Hilfe,
LG Euler

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Es fehlt die Annahme dass $G$ von endlicher Ordnung sein muss. Andernfalls stimmt die Aussage nicht. Es gibt unendliche einfache Gruppen, die nicht-abelsch sind.   ─   zestysupreme 21.12.2023 um 13:15

Hallo zestysupreme

Vielen Dank für deinen Hinweis zur fehlenden Annahme:

"Es gibt unendliche einfache Gruppen, die nicht-abelsch sind." - daran hätte ich jetzt wirklich gar nicht gedacht!

LG Euler
  ─   euler03 21.12.2023 um 21:57

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Kein Problem. Wenn du weißt, dass $G$ endliche Ordnung hat, denk an den Satz von Lagrange (Untergruppen teilen die Ordnung), dann ist die Aufgabe nicht mehr schwer.   ─   zestysupreme 21.12.2023 um 23:04

Selbstmurmelnd gibt es unendliche einfache nichtabelsche Gruppen. Diese Tatsache hat aber nichts mit der Aufgabenstellung zu tun.   ─   m.simon.539 21.12.2023 um 23:49
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Im Prinzip bist Du hier auf Kurs, allerdings verwirrend aufgeschrieben und unvollständig.
Zunächst solltest Du hinschreiben, ob Du die Rückrichtung oder Hinrichtung zeigst.

Hier eine Beweisskizze zur Hinrichtung:

Vor.: Sei G eine Gruppe, die keine nicht-trivialen Untergruppen besitzt.
Z.Z.: G ist zyklisch und von Primzahlordnung.
Bew: Sei \(g\in G\setminus\{e\}\). Sei (g) die von g erzeugte Untergruppe. Wegen Vor. ist \((g) =G\). Also ist G zyklisch.
Wäre G unendlich, dann wäre G isomorph zu \(\mathbb{Z}\), und zwar vermöge dem Isomorphismus \(I:\mathbb{Z}\rightarrow G, I(z)=g^z\).
Da \(\mathbb{Z}\) nicht-triviale UG besitzt, muss G endlich sein. Setze n=|G|.

So, und nun kommt der Beweisteil, den Du schon skizziert hast.
Dein m fällt vom Himmel. Es sollte aber sozusagen parallel zum k eingeführt werden, z.B. so:
"Annahme, es gäbe k,m so, dass \(1<k,m<n\) und \(n=mk\)."
Die "*" vor dem m und hinter der 1 können getrost weg.
Die Aussage \(\mbox{ord}(g)<n\) hast Du dann beweisen.
Dann hinschreiben: "Das ist ein Widerspruch zu \((g) =G\), denn \(\mbox{ord}(g)=|(g)|=|G|=n\)".
Deine Gleichung "\(1\not\le g^k \not\le = G\)" kann weg.

Beweisskizze Rückrichtung:
Vor.: G ist zyklisch und von Primzahlordnung.
Z.Z..: G besitzt keine nicht-trivialen Untergruppen besitzt.
Bew.:
Ann.: U sei nicht triviale Untergruppe von G.
Sei \(u\in U\setminus\{1\}\). Dann ist \(1<\mbox{ord}(u)\le|U|<n\).
ord(u) ist Teiler von n. Widerspruch zu "n ist prim".

Wie man sieht, muss "G endlich" nicht vorausgesetzt werden.


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Hallo m.simon.539,

Habe die Aufgabe mittlerweile vollständig gelöst - aber dennoch vielen vielen Dank für deine ausführliche Beweisskizze (hat mir Verständnismaßig dann doch noch an einigen stellen weitergeholfen :))

Ich wünsche dir noch schöne Weihnachtsfeiertage :)
LG Euler
  ─   euler03 26.12.2023 um 14:33

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