Im Prinzip bist Du hier auf Kurs, allerdings verwirrend aufgeschrieben und unvollständig.
Zunächst solltest Du hinschreiben, ob Du die Rückrichtung oder Hinrichtung zeigst.

Hier eine Beweisskizze zur Hinrichtung:

Vor.: Sei G eine Gruppe, die keine nicht-trivialen Untergruppen besitzt.
Z.Z.: G ist zyklisch und von Primzahlordnung.
Bew: Sei $g\in G\setminus\{e\}$. Sei (g) die von g erzeugte Untergruppe. Wegen Vor. ist $(g) =G$. Also ist G zyklisch.
Wäre G unendlich, dann wäre G isomorph zu $\mathbb{Z}$, und zwar vermöge dem Isomorphismus $I:\mathbb{Z}\rightarrow G, I(z)=g^z$.
Da $\mathbb{Z}$ nicht-triviale UG besitzt, muss G endlich sein. Setze n=|G|.

So, und nun kommt der Beweisteil, den Du schon skizziert hast.
Dein m fällt vom Himmel. Es sollte aber sozusagen parallel zum k eingeführt werden, z.B. so:
"Annahme, es gäbe k,m so, dass $1<k,m<n$ und $n=mk$."
Die "*" vor dem m und hinter der 1 können getrost weg.
Die Aussage $\mbox{ord}(g)<n$ hast Du dann beweisen.
Dann hinschreiben: "Das ist ein Widerspruch zu $(g) =G$, denn $\mbox{ord}(g)=|(g)|=|G|=n$".
Deine Gleichung "$1\not\le g^k \not\le = G$" kann weg.

Beweisskizze Rückrichtung:
Vor.: G ist zyklisch und von Primzahlordnung.
Z.Z..: G besitzt keine nicht-trivialen Untergruppen besitzt.
Bew.:
Ann.: U sei nicht triviale Untergruppe von G.
Sei $u\in U\setminus\{1\}$. Dann ist $1<\mbox{ord}(u)\le|U|<n$.
ord(u) ist Teiler von n. Widerspruch zu "n ist prim".

Wie man sieht, muss "G endlich" nicht vorausgesetzt werden.