Erstellung einer Annahme bei der Vollständigen Induktion? Wie?

Aufrufe: 510     Aktiv: 23.09.2020 um 21:57
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Ich habe als Angabe gegeben \(sum_{n=1}^{n}\frac {n*(n+1)(2n+1)} {6}\)

In weiterer folge setzte ich für n die Zahlen 1-4 ein.

S1= \( \sum_{n=1}^{n}\frac {1*(1+1)(2*1+1)} {6} = 1\)

S2= \( \sum_{n=1}^{n}\frac {2*(2+1)(2*2+1)} {6} + S1 = 6\)

S3= \( \sum_{n=1}^{n}\frac {3*(3+1)(2*3+1)} {6} +S2 = 20\)

in weiterer folge auf dem selben prinzip: S4 + S3 = 50

 

Wie berechne oder wie komme ich zur Annahme, um in weiterer folge die Annahme zu beweisen?

bzw. gibt es überhaupt eine Anleitung irgendwo wie man zur Annahme/Behauptung kommt ? muss diese durch den Prof gegeben sein bei der prüfung? 

ich verzweifle

 

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Meistens ist die Formel angegeben und man muss "nur" noch beweisen. Deine Frage ist aber schon nicht unberechtigt und Dein Vorgehen ist gut. In den Zeilen mit S1=... S2=... usw. gehört übrigens das Summenzeichen rechts nicht hin. Und Summe von n=1 bis n macht auch keinen Sinn.

Es ist etwas aufwendig (und m.E. nicht für eine Prüfung geeignet) bei dieser Aufgabe auf die Formel zu kommen. Ich komme mit etwas Rechnen auf

\(\sum\limits_{i=1}^n \frac{i\,(i+1)\,(2i+1)}6 = \frac{n\,(n+1)^2(n+2)}{12}\).

Aber eine übliche Aufgabe wäre, zu zeigen: \(\sum\limits_{i=1}^n i^2 =\frac{n\,(n+1)\,(2n+1)}6\). Bist Du sicher, dass in Deiner Aufgabe nicht das gemeint ist (weil es so sehr ähnlich aussieht)?

Und eine Aufgabe mit einer Summe mit einem Summanden mit konstantem Nenner ist ungewöhnlich - die 6 kann man ja einfach rausziehen.

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Das bedeutet meine Annahme ist i² ? ja ich habe die angabe schleissig gelesen. Nachdem ich das im Unterricht verpasst habe muss ich nun im selbststudium irgendwie drauf kommen. Ich sehe jetzt das die Angabe 1²+2²+3²....+n²= ganz oben genannte formel beinhaltet.

Ich finde es bewundernswert wie Du das erkennst ohne die tatsächliche Angabe vor dir liegen zu haben scheinst.
Danke für den hinweis.

sprich wenn in der Angabe stehen würde 1³+2³+3³... könnte ich die Annahme i³ treffen ? ... ich versuche mir ein Muster zu schaffen nach dem ich vorgehen kann ... Danke nochmal : )   ─   slepir94 23.09.2020 um 21:49

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