Kugel mit Zylinder max Volumen

Aufrufe: 1050     Aktiv: 21.01.2021 um 08:24

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Hallo,

ich habe leider kein Ansatz bei der Aufgabe.

 

Gegeben sei ein Kugel mit Radius R. Schreiben Sie dieser Kugel einen Zylinder mit maximalen Volumen ein. Wie groß ist das Volumen des gesuchten Zylinders?

Danke schon mal 

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Student, Punkte: 86

 
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1 Antwort
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Hallo symrna35,

 

bei sowas hilft immer eine Skizze. Habe dir dazu mal folgendes Bild hochgeladen:

 

 

Den Radius des Zylinders wähle ich mir als \(x\). Für die Höhe des Zylinders betrachte ich nur die obere Hälfte und projeziere mir den Queerschnitt auf den Thaleskreis. Dann wende ich den Höhensatz an (\(h^2=p\cdot q\) bzw. \(h=\sqrt{p\cdot q}\)). Mit \(r=x\) und \(h=2\cdot h'\) komm ich dann auf die angegebene Funktion. Wichtig ist noch zu ergänzen, dass natürlich \(0<x<R\) gelten muss. Das ausrechnen an sich sollte nur noch Formsache sein. Kontrollergebnis habe ich parat, wenn du wissen willst, ob du richtig gerechnet hast.

 

Hoffe das hilft weiter.

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Lehrer/Professor, Punkte: 8.97K

 

ah ja @cauchy danke dir .... der Wurzelausdruck hatte mir schon den Anschein erwecken lassen, dass es auch mit Pythagoras gehen müsste ^^   ─   maqu 21.01.2021 um 00:09

Sorry bin etwas verwirrt gerade. Wenn ich es mit Phytagoras rechne ergibt sich doch R^2 = (h^2/2) + (R+r)^2 oder nicht ?!   ─   symrna35 21.01.2021 um 00:21

Ach nein Quatsch! Ich rechne ja nicht mehr mit der Skizze von Satz des Thales, sondern von der y-Achse aus   ─   symrna35 21.01.2021 um 00:26

@symrna35 genau in meinem Beispiel wird das Volumen in Abhängigkeit des Radius berechnet und @cauchy macht es in Abhängigkeit von der höhe   ─   maqu 21.01.2021 um 00:43

@ Cauchy danke für den Hinweis
@maqu hast du als Ergebnis (4/3*sqrt3) pi* R^3 ?
  ─   symrna35 21.01.2021 um 00:45

Ich habe meine Lösung oben eingefügt
Danke euch beiden für die Hilfe
  ─   symrna35 21.01.2021 um 01:07

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@symrna35 ja das hab ich auch raus ... du kannst das sogar ins Verhältnis zum Volumen der Kugel setzen \(V_{Zylinder}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{4}{3} \pi R^3=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot V_{Kugel}\)   ─   maqu 21.01.2021 um 08:23

@maqu Super vielen Dank!   ─   symrna35 21.01.2021 um 08:24

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