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Guten Abend,
ich hätte eine Frage zum Thema Relationen. Ich verstehe bei der folgenden Aufgabe nicht wirklich, warum die Relation transitiv und antisymmetrisch sein soll.

Auf der Menge {a,b,c,d} betrachten wir die Relation R = {(a,a),(a,c),(b,b),(b,d),(c,c),(d,d)}

Ich sollte die Relation auf Symmetrie, Asymmetrie, Antisymmetrie,Reflexivität und Transitivität untersuchen.

Auf folgende Lösung bin ich gekommen:
reflexiv: Ja,da (a,a),(b,b),(c,c),(d,d) ∈ R
symmetrisch: Nein, da z.B. (b,d) ∈ R und (d,b) ∉ R
asymmetrisch:?
antisymmetrisch: ?
transitiv: ?

Bei der Antisymmetrie, Asymmetrie und Transitivität weiß ich leider nicht, wie ich das mit dieser Relation machen soll:(

- Die Definition der Antisymmetrie lautet: Antisymmetrisch, wenn für alle x, y ∈ X aus x R y und y R x stets x = y folgt.
- Die Definition der Transitivität lautet:
Transitiv, wenn für alle x, y, z ∈ X aus x R y und y R z stets x R z folgt.

Bei der Transitivität weiß ich nicht wie ich die Eigenschaften an dieser Relation anwenden soll, da mir unklar ist, wo ich ein Beispiel finden kann. (Ich finde kein Beispiel wo es unterschiedliche Zahlen für x,y und z gibt)

Eine Frage dazu:
Wäre (a,a) und (a,c) -> (a,c) ein Beispiel dafür, dass die Relation transitiv ist?

Könnte mir bitte jemand erklären wie ich die Relation hier konkret auf Transitivität, Antisymmetrie und Asymmetrie untersuchen kann(mit konkreten Tupel-Beispielen)?

Vielen Dank im Voraus!







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"Wäre (a,a) und (a,c) -> (a,c) ein Beispiel dafür, dass die Relation transitiv ist?" - Das ist die falsche Frage. Die Eigenschaften müssen für alle a,b,c usw. erfüllt sein. Man kann eine solche Eigenschaft also nicht durch ein Beispiel nachweisen.
Wenn man sie widerlegen will, reicht dagegen ein Gegenbeispiel (so wie Du es für Symmetrie gemacht hast).
Antisymmetrie: "für alle x, y ∈ X aus x R y und y R x stets x = y folgt.". Andere Leseweise: für alle x, y ∈ X gilt: wenn x R y und y R x erfüllt ist, dann gilt x = y.
Prüfe damit nochmal Deine Relation. Wiederhole auch die Aussagenlogik, insb. die Wahrheitstafel, wann eine "wenn-dann" Aussage wahr ist.
Für transitiv das gleiche.
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Ich habe nun versucht die Relation auf Transitivität zu untersuchen. Dafür bin ich jeden Schritt durchgegangen:
1)(a,c):
(a,c) ∧ (c,c) ⇒ (a,c)

2)(a,a):
(a,a) ∧ (a,c) ⇒ (a,c)

3)(b,b):
(b,b) ∧ (b,d) ⇒ (b,d)

4)(b,d):
(b,d) ∧ (d,d) ⇒ (b,d)

5)(c,c):
(c,c) ∧ (c,c) ⇒ (c,c)

6)(d,d):
(d,d) ∧ (d,d) ⇒ (d,d)

Somit ist die Relation transitiv, da für alle x,y,z ∈ R mit x R y und y R z gilt x R z. (Reicht das als Begründung oder muss ich das auf a,b,c,d beziehen? Wenn ja, wie stelle ich das mit 4 Buchstaben dar, wenn in der Definition aber nur 3 Buchstaben x,y und z stehen?)

Wie würde man die transitive Relation hier mathematisch korrekt aufschreiben?

Vielen, vielen Dank für Ihre hilfreiche Antwort von eben!
  ─   calculare 09.03.2024 um 23:16

Bei a,b,c,d und dem x,y,z in der Def. gibt es genau $4^3=64$ Kombinationen, die geprüft werden müssten. Genau genommen. Praktisch prüft man nur die, in denen der "wenn"-Teil der Aussage erfüllt ist (wg der Aussagenlogik).
Du hast hier 6 der 64 Bedingungen hingeschrieben. Es fehlt zum einen die Begründung, warum das reicht und zum anderen, ob es nun erfüllt ist oder nicht. Du hast nur die Bedingung hingeschrieben, es fehlt die Auswertung.
Man kann sich auch überlegen, dass man den Fall x=y nicht prüfen muss, auch nicht den Fall y=z, denn dann ist die Folgerung sowieso für jede Relation erfüllt.
  ─   mikn 09.03.2024 um 23:43

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