Komplexe Zahlen: Wie berechne ich cos(i) oder sin(i)?

Erste Frage Aufrufe: 365     Aktiv: 17.07.2023 um 23:23

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In unseren Lösungen steht ein Weg über die eulersche Form mit e^ix - e^-ix. Wie kommt man darauf und wieso funktioniert das?
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Moin,

es gilt $$e^{iz}=\cos{z}+i\sin{z}$$für $z\in\mathbb{C}$. Ersetzt man $z\mapsto -z$, erhält man $$e^{-iz}=\cos{(-z)}+i\sin{(-z)}=\cos{z}-i\sin{z}$$weil der Cosinus gerade und der Sinus ungerade sind. Addiert man beide Gleichungen, so erhält man
$$e^{iz}+e^{-iz}=2\cos{z}$$also $$\cos{z}=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})$$für alle $z\in\mathbb{C}$.
Wenn man also den Cosinus von $i$ ausrechnen will, ist es hilfreich diese Definition des Cosinus zu verwenden.

LG
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Student, Punkte: 3.85K

 

Danke dir!   ─   elly 17.07.2023 um 23:23

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