Untersuchen sie die folgenden Reihen auf Konvergenz

Aufrufe: 501     Aktiv: 16.12.2020 um 15:15
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b ) ∑∞ n=0 √ n( √( n + 6) − √ n))

Kann mir Jemand mit dieser Teilaufgabe weiter helfen ? Ich weiß nicht wie ich bei der Wurzelschreibweise vorgehen soll. Mit dem Quotientenkriterium komm ich nicht weiter.

 

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Punkte: 28

 
Welche Kriterien kennst du noch? Was ist mit dem Wurzelkriterium?   ─   anonym0165f 16.12.2020 um 13:00
Verstehe ich richtig, dass die Summanden \(a_n=\sqrt{n}(\sqrt{n+6}-\sqrt{n})\) lauten?   ─   slanack 16.12.2020 um 13:11
ja genau   ─   smila 16.12.2020 um 13:16
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1 Antwort
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Der Trick ist hier, \(a_n\) mit \(\sqrt{n+6}+\sqrt{n}\) zu einem Bruch zu erweitern, eine binomische Formel anzuwenden (das hast Du vielleicht im Zusammenhang mit Differenzen von Wurzeln schon mal gesehen, ist ein wichtiger Trick!) und dann den Grenzwert \(\lim_{n\to\infty}a_n\) zu berechnen. Was kannst Du aus dem Ergebnis schließen?

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Danke für die Antwort !
bedeutet das dann, dass die Reihe konvergiert wenn es am Ende der Rechnung einen Grenzwert gibt?   ─   smila 16.12.2020 um 13:47
Nein, Konvergenz der Reihe kann man aus der Existenz des Grenzwertes der Summanden nie schließen. Aber für eine konvergente Reihe ist der Grenzwert der Summanden notwendigerweise Null. Falls also ein Grenzwert ungleich Null herauskommt, dann ist die Reihe divergent.   ─   slanack 16.12.2020 um 15:02
Danke   ─   smila 16.12.2020 um 15:15

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