Minimum von abschnittsweise definierter Funktion beweisen

Erste Frage Aufrufe: 500     Aktiv: 09.05.2020 um 18:04
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Ich versuche zu beweisen, dass \((-1,0)\) die eindeutige Lösung des konvexen Optimierungsproblems

$$\min_{(x,y)\in\mathbb{R}^2} x + 10 \max \{x^2+2y^2-1,0\}$$

ist. Leider weiß ich nicht genau, wie ich dieses Problem angehen soll, da die zu minimierende Funktion eben die \(\max\)-Funktion enthält. Ich dachte zuerst an eine Fallunterscheidung, d. h. ich nehme an, dass \(x^2+2y^2-1 \ge 0 \) und muss somit das Polynom \( x + 10 (x^2+2y^2-1) \) minimieren. Leider erfüllt das Minimum von eben diesem Polynom (nämlich \( (-1/20, 0)\)) dann wiederum die Bedingung der Fallunterscheidung (also \(x^2+2y^2-1 \ge 0 \)) nicht mehr.

Ich wäre für jede Hilfe dankbar.

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Student, Punkte: 10

 
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Als erstes würde ich einfach direkt beweisen, dass (-1,0) ein Minimum ist. Die Eindeutigkeit würde ich erst in einem zweiten Schritt angehen.

Du kannst das `x` in das Maximum hineinzeihen und die Funktion umschreiben in `max{10(x^2+2y^2-1)+x,x}`. Nützt das was?

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Lehrer/Professor, Punkte: 7.74K

 
Ok, machen wir die Eindeutigkeit später. Ich verstehe aber leider nicht, was mir das Hineinziehen konkret bringt, da mein oben beschriebenes Problem ja weiterhin besteht: Der Punkt \( (-1/20, 0) \) erfüllt die Bedingung der Fallunterscheidung nicht. Ich bräuchte also ein Minimum, das die Bedingung \(x^2+2y^2-1 \ge 0 \) gerade noch erfüllt. Wie finde ich das?   ─   r4y 09.05.2020 um 18:04

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