Riemann-Integral

Erste Frage Aufrufe: 220     Aktiv: 18.11.2023 um 23:22

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Ich habe häufig in Videos zum Thema Rieman-Integral eine Erklärung wie folgt gefunden:

Integral (von a bis b) f(x) dx = lim (n gegen  unendlich) Summe (k=1 bis n) f(xk-1) * delta x gefunden.

Im anglo amerikanischen Raum werden dann auch haufig noch Dinge wie left- right- oder midpoint-rule nochgeschoben und dann folgen Beispiele für Näherungen sogar mit sehr kleinen n.  

Meiner Meinung nach sind das keine Riemann Integrale. So wie ich es gelernt habe sind bei diesen Integral eine Untersumme und eine Obersumme zwingend und hinter dem Summenzeichen stehen dann zwingend immer Infimum bzw. Supremum. 

Was da als Riemann-Integral bezeichnet wird kenne ich unter dem Thema  numerische Integration als etwas was man als  Rechteckregel bezeichnet.  Es hat gewisse Vorteile das so zu machen weil es das ganze vereinfacht und es so auch einfach programmiert werden kann. 

Obige Definition find ich auch in meiner alten Formelsammung (Lothar Papula) Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler, allerdings seht da Definition eines bestimmten Integrals (ohne Riemann) und dann ist es ja auch nicht falsch. 

 

 

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Und was ist jetzt Deine Frage?

Wenn Du bei wikipedia nachliest, findest Du, dass diese Def. sogar genau die Originale von Riemann selbst ist, während die über Ober/Untersummen von Darboux stammt.
Im Grenzwert liefern alle diese Definition dasselbe Integral. Und die numerischen Formeln ("Quadraturformeln") liefern natürlich nicht das Integral, sondern nur Näherungen. Die haben ja auch keinen Grenzwert eingebaut.

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Ja stimmt, und im Schulbuch steht auch nicht Riemann-Integral sondern nur "Annäherung von Integralen durch Riemannsche Summen." (zumindest in dem Exemplar, was ich noch besitze) Darboux wurde dann in den Schulbüchern unterschlagen und ich habe dann seine Integraldefinition fälschlicherweise als die von Riemann interprtiert.   ─   useredb76f 18.11.2023 um 14:38

Schulbücher sollte man bei sowas sowieso nicht zu Rate ziehen. Die neueren schon gar nicht.   ─   cauchy 18.11.2023 um 17:39

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Ja, da hast Du recht.

Die \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \sum \ldots \)-Definitionen eines Integrals, welche äquidistante Stützstellen verwenden, sind nicht mit dem Riemann-Integrals äquivalent.
Für stetige Funktionen kommt da zwar das Gleiche heraus. Es gibt aber auch pathologische Fälle, wo das nicht gilt, z.B.
\(f(x) = 1\), wenn \(x\in\mathbb{Q}\), \(f(x)=0\) sonst.
Wenn man nun \(\int_0^1 f(x) dx\) berechnen will, dann werten die \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \sum \ldots \)-Definitionen f immer für rationales Argument aus, und man erhält \(\int_0^1 f(x) dx=1\).
\(\int_0^1 f(x) dx=1\) im riemannschen Sinne hingegen ist nicht definiert.

Die \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \sum \ldots \)-Definitionen sind halt ein bisschen einfacher zu verstehen. In meiner Penne wurde im Leistungskurs das Riemann-Integral verwendet, im Grundkurs eine \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \sum \ldots \)-Definition.
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Die $\lim \sum$-Definitionen werten in diesem Beispiel nicht immer an den rationalen Stellen aus. Die Untersummen sind stets 0, die Obersummen 1, daher liegt keine Integrierbarkeit vor. Wo sollte hier ein Problem sein? Und überhaupt, was ist denn Deiner Meinung nach nun die "richtige" Def. des RI?
Und man berechnet eben nicht das Integral, bevor Integrierbarkeit gesichert ist und damit das Integral überhaupt existiert. Nicht-existente Größen zu berechnen führt zu Widersprüchen.
  ─   mikn 18.11.2023 um 14:06

Es sind fürchte ich tatsächlich 2 Definitionen für das Riemann-Integral im Umlauf und gebraüchlich . Eine über Obersummen und Untersummen

z.B.: auch hier verwendet (ab Minute 45) https://www.fau.tv/clip/id/4911 bei 1 h :19 min schreibt er dann auch Riemann-Integral hin. (Also wohl das was von Darboux stammt). Das ist auch das aus der Schule. Dann natürlich auch die lim n→∞ ∑…-Definition , die dann wohl von Riemann selbst benutzt wurde. (z.B. hier verwendet) https://open.uci.edu/lectures/math_2b_lec_03_calculus_definite_integral.html. Man verwendet also wohl das was von Darboux stammt und das was Riemann selbst benutzt hat unter dem Begriff "Riemann-Integral". Sollte man eigentlich so nicht machen.
  ─   useredb76f 18.11.2023 um 16:35

Wo ist das Problem? Es sind zwei Def. von R-integrierbar und die sind äquivalent. Gemischt wird hier nur was, wenn Du ein video von da und eins von dort nimmst. Für videos hab ich selbst keine Zeit, zitiere lieber aus online-Skripten.   ─   mikn 18.11.2023 um 16:42

Sind sie nicht. Die eine geht z.B. von äquidistanten delta x aus. Bei einer Zerlegung ist nicht zwingend, das die Abstände gleich sind. Aber im Ingenierbereich oder auch inweiten Teilen der Naturwissenschaften ist die Definition hinterher ohnehin völlig egal. Auch Lebesgue-Integral und Riemann-Integral sind für die Menge der mit beiden Integrierbaren Funktionen kompatibel. Begriffe sollten aber immer eindeutig sein.   ─   useredb76f 18.11.2023 um 16:54

Die Def. sind nicht gleich, aber äquivalent. Beachte den Unterschied.
PS: Der Begriff R-integrierbar ist eindeutig in dem Sinne, dass es keine Funktionen gibt, die nach der einen Def. Ri sind, und nach der anderen nicht.
Welche Variante der Def. man bringt ist Geschmackssache und da gibt es keine Vorschriften.
  ─   mikn 18.11.2023 um 16:56

"For the function drawn, estimate the area under the curve using a Riemann sum with four
subintervals and midpoints. " Graph folgt dann danach:

Nach Definition 1) hat man schon ein Problem mit midpoints. Ignoriert man das, dann würde ich eine Näherung für die Untersumme berechnen, eine für die Obersumme und dann liegt der Wert des Integral irgendwo dazwischen.

Nach Definition 2) kann man dann mit midpoints einen Näherungswert berechnen.

Auch ist bei Definition 1 "using a Riemann sum" ein Problem, weil es ja Untersumme und Obersumme gibt.

So aus der Luft gegriffen ist dieses Beispiel auch gar nicht, Wenn man z.B, Werte von Geschwindigkeiten zu bestimmten Zeiten hat, gibt es bei Definition 1) eine untere Schranke und eine obere Schranke für den zurückgelegten Weg, nach Definition 2 einen Näherungswert.

  ─   useredb76f 18.11.2023 um 18:09

Die Definition gemäß https://open.uci.edu/lectures/math_2b_lec_03_calculus_definite_integral.html ist auch äquivalent zur Definition nach Riemann, auch wenn die Intervallaufteilung äquidistant ist.
  ─   m.simon.539 18.11.2023 um 23:22

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Du redest von versch. Arten Näherungswerte zu berechnen. Das hat nichts mit der Definition des Integrals zu tun.
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Die Approximation stammt aber direkt aus den beiden Definitionen.
Näherungswerte hat man, wenn man aus dem infinitesimal keinen dx ein makroskopisches delta macht.. Das tut jeder Physiker und jeder Ingenieur. n wird dann halt 1000, 10000 ... solange, bis es halt klein genug ist und man die Genauigkeit hat, mit der man leben kann. Daran ist auch nichts schlechtes, weil eh jede Größe die man mißt oder berechnet Toleranzen unterworfen ist. Da ist dann für mich auch der Unterschied bei beiden Definitionen. Bei Definition 1 hat man obere und untere Schranke bei 2) eine einzige Approximation des bestimmten Integrals und nur für große n geht es inneinander über. Abrechen einer Summation ist üblich (z.B. Taylor, Fourierreihen etc.) Wenn jemand aus Definition1) und 2) einen Algorithmus zu programmieren hätte, wäre er bei 2) sehr schnell fertig, bei 1) würde er sich einen abbrechen.
  ─   useredb76f 18.11.2023 um 19:10

Sorry, sollte keine weitere Antwort werden, nur ein Kommentar.
Nochmal: Die Def.'n definieren R-Integrierbarkeit und sonst nichts. Wenn jemand daraus Approximationen ableitet, ist das sein Problem. Kann klappen, oder auch nicht. Oder praktikabel sein, oder mühsam, oder was auch immer. An der Def. und deren Sinn ändert das nichts, daher sollte man sich dann nicht über die Def. beschweren.
  ─   mikn 18.11.2023 um 19:39

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