Eigenwerte zu Rotationsmatrix

Aufrufe: 40     Aktiv: 03.05.2021 um 15:46

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Gegeben ist die Rotationsmatrix (cos(θ), -sin(θ)),(sin(θ), cos(θ)) über den komplexen Zahlen. θ im Intervall [0,2pi)
Ich soll dazu die Eigenwerte bestimmen und die algebraische Vielfachheit berechnen, wobei θ nicht 0 oder pi sein soll.

Die Eigenwerte habe ich bereits bestimmt.
lambda=cos(θ)+isin(θ) oder cos(θ)-isin(θ)

Meine Frage bezieht sich auf die algebraische Vielfachheit. Kann diese unendlich sein, da ja quasi für jede Zahl die ich für θ einsetze das charakteristische Polynom gleich Null ist. Oder geht man hier einfach vom Fall aus dass es egal ist was ich für θ einsetze und die algebraische Vielfachheit immer 2 ist.
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1 Antwort
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Die Vielfachheit bezieht sich nur auf ein festes \(\theta\). Sie könnte von \(\theta\) abhängen, aber auf jeden Fall ist sie 1 oder 2 für jeden der beiden EWe, wie generell bei 2x2-Matrizen. Die Summe aller alg. Vielfachheiten ist, auch weil es generell bei 2x2 so ist, stets 2. Also, wie lautet das Ergebnis?
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Genauso ist es, und aus genau diesem Grund. Übrigens geht hier ein, dass \(\theta\) nicht 0 und nicht pi ist, weil sonst die beiden EWe gleich wären und damit gäbe es nur einer, der aber alg. V 2 hat.   ─   mikn 03.05.2021 um 15:23

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Nein, das kann man allgemein nicht sagen. Die Anzahl der (linear unabhängigen) EVen zu einem EW ist die Dimension des Eigenraums und heißt auch geometrische Vielfachheit. Diese ist stets \(\le\) der alg. Vielfachheit. Es kann also in diesem Fall (nur ein EW, alg. V > 1) nur einen EV geben, oder auch mehrere (aber nie mehr als die alg. V angibt). Muss man jedesmal ausrechnen.
  ─   mikn 03.05.2021 um 15:46

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