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Bin gerade an dieser Aufgabe und habe erfolgreich den Sattelpunkt (-1/2  / -1/4) und den Tiefpunkt (0/0) bestimmt. Nun bin ich mir bei der folgenden Frage zum Sattelpunkt nicht mehr sicher, was gemeint war.

Mit charakterisieren sie den Begriff hätte ich jetzt: "Von einer anderen Blickrichtung betrachtet, ist ein Sattelpunkt in einem 3-Dimensionalen-Koordinatensystem sowohl ein Hochpunkt als auch Tiefpunkt. Die beiden treffen sozusagen aufeinander und ergeben als Folge den Sattelpunkt."

Ist das so gewollt? Fehlt mir eine wichtige Erkenntnis?

Und zu geometrisch bin ich mir leider gar nicht sicher... Die notwendige Bedingung sagt aus, dass eine waagerechte Tangente vorliegt, oder etwa nicht?

Vielen Dank für Erklärungen!

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Bei Aufgaben, bei denen man den Eindruck hat, man soll einen Aufsatz schreiben, ist es schwierig zu sagen, was gewünscht wird.
Deine Charakterisierung meint (vermute ich) das richtige, aber es stimmt nicht, dass in einer Richtung der SP gleichzeitig HP und TP ist. Gleichzeitig geht nicht.
Du meinst (hoffentlich), es gibt eine Richtung, in der der SP ein HP ist, und es gibt eine andere Richtung, in der der SP ein TP ist. Das ist auch die Def. von SP, und mach Dir auch mal klar, warum der SP Sattelpunkt heißt und überleg Dir wie ein Pferderücken aussieht. Dann ist eigentlich alles klar.
Bei "die notwendige Bedingung" ist auch nicht klar, was gemeint ist. Es gibt viele notwendige Bedingungen. Eine ist die horizontale Tangente, ja.
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