Bei Aufgaben, bei denen man den Eindruck hat, man soll einen Aufsatz schreiben, ist es schwierig zu sagen, was gewünscht wird.
Deine Charakterisierung meint (vermute ich) das richtige, aber es stimmt nicht, dass in einer Richtung der SP gleichzeitig HP und TP ist. Gleichzeitig geht nicht.
Du meinst (hoffentlich), es gibt eine Richtung, in der der SP ein HP ist, und es gibt eine andere Richtung, in der der SP ein TP ist. Das ist auch die Def. von SP, und mach Dir auch mal klar, warum der SP Sattelpunkt heißt und überleg Dir wie ein Pferderücken aussieht. Dann ist eigentlich alles klar.
Bei "die notwendige Bedingung" ist auch nicht klar, was gemeint ist. Es gibt viele notwendige Bedingungen. Eine ist die horizontale Tangente, ja.