Was sind umkehrfunktionen?

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Was sollte man wissen und beachten
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Eine Funktion/Abbildung \(f\) von \(A\to B\) bildet ein \(x\in A\) auf \(f(x)\in B\) eindeutig ab. Die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) bildet nun von \(B\to A\) ein \(f(x)\in B\) auf \(x\in A\) ab. Sie gibt also zu einem Bild das zugehörige Urbild an.  Damit die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) eindeutig ist, muss \(f\) injektiv sein und damit \(f^{-1}\) auf ganz \(B\) definiert ist, muss \(f\) surjektiv sein, letztendlich also bijektiv,  was gleichbedeutend zu eindeutig umkehrbar ist.
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Eine Funktion \(f:A\to B\) ist bijektiv (d.h. injektiv und surjektiv) genau dann, wenn es ein (eindeutiges) \(g:B\to A\) gibt mit \(f\circ g=id_B\) und \(g\circ f=id_A\). In diesem Fall heißt die Funktion \(f\) umkehrbar und \(g\) die Umkehrfunktion, man schreibt auch \(g=f^{-1}\).
Man kann den Term einer Umkehrfunktion oft ausrechnen, indem man die Gleichung \(x=f(y)\) nach \(y\) auflöst. Für eine Funktion \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) (oder Teilmengen von \(\mathbb R\) ist eine Funktion graphisch gesehen umkehrbar, wenn jede Parallele zur \(x\)-Achse den Graphen einmal schneidet. Die Umkehrfunktion entsteht graphisch durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten.
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