A = ln(2)/ln(1+p/100)

Erste Frage Aufrufe: 88     Aktiv: 22.03.2023 um 18:31
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Das ist die strenge Formel zum Karnikel- oder Kapital-Problem: Wie lange a [Jahre] dauert es bis zur Verdopplung bei einer Reproduktionsrate o. Zinsen von p [%]. Überschlagsweise ersetzt man die strenge Formel durch a = 100 * ln(2) / p. Das deckt sich zumindest ansatzweise mit der Erkenntnis, dass solche Probleme logarithmischen Funktionen folgen. Wieso passt aber die Näherungsformel a = 100 * 1/2 * Wurzel(2) / p ab ca. 2 % wesentlich besser, obwohl darin kein Logarithmus mehr vorkommt? Welche anschauliche Erklärung gibt es dafür?
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1 Antwort
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Ich hab mir beide Näherungsformeln genau angeschaut. Die erste beruht auf der Linearisierung des Nenners (Abbruch der Taylorreihe nach dem linearen Glied) und ist ein übliches Verfahren. Bei der zweiten wird im Vergleich zur ersten schlicht $\ln 2=0.6931...$ durch $1/\sqrt{2}=0.7071...$ ersetzt.
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Ok, Du hast recht, ich hatte was übersehen und hab jetzt noch genauer hingeschaut ;-) (und die obige Antwort editiert).
Ja, aber ca. p=2 ist die d2 kleiner als d1 (Absolutbetrag). Du kannst die Näherung sogar noch weiter verbessern, anstelle von d2=A-70.71/p z.B. mit d3=A-70/p, oder A-69.4/p. Bei d3 ist es aber ca. p=1 besser, mit der 69.4 ab ca. p=0.13. Das wären also noch bessere Näherungen in dem Sinne, dass die auf einem größeren Bereich besser sind.
Das sind alles Varianten, die eine bessere Näherung darstellen. Da kann man jede Kurve nehmen, die unter der d1-Kurve liegt. Die d2 mit der Wurzel(2) ist nichts spezielles, ist halt einfach irgendeine Zahl (wie gerade erklärt, gibt es noch bessere). Eine math. Erklärung (oder anschauliche, außer dass die eine Kurve unter der anderen liegt) habe ich nicht. Man kann natürlich diese Eigenschaft math. nachweisen, aber ich hab's so verstanden, dass Du nach einer Art Herleitung suchst, an deren Ende die Wurzel(2) rauskommt (und der ln(2) weg ist), aber die wird es nicht geben.   ─   mikn 22.03.2023 um 18:30

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