Folge: Rekursive in Explizite Darstellung Umwandeln

Aufrufe: 136     Aktiv: 25.06.2021 um 12:13

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Guten Tag, habe schon wieder eine Frage... Ich soll hier von der Rekursiven in Explizite Darstellung Umwandeln, und hab mich schon eingelesen und informiert und hab schonmal einen (hoffentlich Richtigen) Ansatz... Man erkennt sofort dass bei 8 anscheinend ein Häufungspunkt ist.
Nur die Zahlenfolge von
-6
42
1242
31242

verstehe ich nicht ganz, es kommt halt immer eine 42 vor, aber die -6 passt halt auch garnicht..


Hat jemand eine Idee wie ich weiter vorgehen kann? und dann, wie soll ich das Ergebnis meiner Interpretation bitte in eine Explizite Transfomieren, sowas habe ich nooch nie gemacht, und hab absolut keinen Plan... Danke vielmals!

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Bei der Rekursionsformel \(a_n+b_1a_{n-1}+b_2a_{n-2}+b_3a_{n-3}=0\) bildet man zunächst das charakteristische Polynom \(p(x)=x^3+b_1x^2+b_2x+b_3\). Dann sucht man dessen Nullstellen (raten/Horner-Schema/Polynomdivision). Wenn die Nullstellen alle drei verschieden und reell sind, sagen wir \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\), (das ist hier der Fall), dann lautet die explizite Form
\(a_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+c_3\lambda_3^n\).
Die noch unbekannten \(c_i\) bestimmt durch Anpassung an die Startwerte.
Was erhälst Du am Ende?
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Danke schonmal für die Rasche Antwort!.. Verstehe ich das richtig, ich soll quasi in die Rekursionsformel meine Anfangswerte a1,a2,a3 für hier jetzt b1,b2,b3 einsetzen, und diese ebenfalls in die p(x) einsetzten, und dann also die Rekursionsformel durch zb Polynomdivision durch p(x) teilen, dann erhalte ich drei 0 Stellen.... stimmt das so? Welchen Wert nehme ich bei an + b1an-1 + b2an-2 ...=0 ?   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 15:27

Nein. Genau in der Reihenfolge wie ich geschrieben habe vorgehen. Anders geht es gar nicht. Also: wie lautet das Polynom, wie die Nullstellen usw...   ─   mikn 24.06.2021 um 15:40

Bei meiner Polynomdivison erhalte ich als Ergebnis: x^2-2x+27-(2/x+1), kann ich da dann das (2/x+1) wegstreichen, oder muss ich noch alles so umformen dass zb x^2+x+b=0 um für die letzten beiden Nullstellen rechnen zu können?   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 16:06

Schritt für Schritt: Wie lautet das Polynom am Anfang? Welche Nullstelle hast Du geraten.?   ─   mikn 24.06.2021 um 16:12

ok... Polynom lautet bei mir: (x^3 - x^2 +25x +25):(x+1)... Ich habe die Nullstelle -1 geraten   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 16:19

Das ist schon nicht richtig. Beachte, um das Polynom abzulesen, muss alles auf die linke Seite gebracht werden. Also?   ─   mikn 24.06.2021 um 16:20

also ist es x^3-x^2+25x+25=0 oder?   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 16:24

Nein, raten ist auch keine sinnvolle Methode. Bringe alles auf die linke Seite, vergleiche mit dem Ausdruck in meiner Antwort ganz oben.   ─   mikn 24.06.2021 um 16:38

Ehrlich gesagt weiß ich nicht mehr was ich tun soll... ich habe für b1: -1, b2= 25, b3= 25 (die werte habe ich aus der Rekursionsformel entnommen) , die Werte in das das charakteristische Polynom eingesetzt, jetzt hab ich ja ein Polynom, was mach ich Flasch? Sollte doch so richtig sein...   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 16:45

jetzt hab ich noch eine Idee: meinen Sie das Polynom: x^3-42x^2+200x-150=0?   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 17:05

hahahah nein ich glaub ich habs, meinen Sie x^3+x^2-25x-25=0   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 17:13

Ja jetzt hab ichs endlich, wie blöd kann man sein, schon ein langer Tag haha...Geratene Nullstelle: -1
Polynomdivision lautet: (x^3+x^2-25x-25):(x+1), da kommt dann x^2-25 heraus... dann noch die Wurzel ziehen und wir haben x1= -1, x2=-5, x3=5
  ─   xaverhauer 24.06.2021 um 17:19

Also lautet die explizite Darstellung dann wie folgt, an=(-6)*(-1)^n + 8*(-5)^n + 42*5^n

Stimmt das? Und Häufungspunkt ist 8, oder?
  ─   xaverhauer 24.06.2021 um 17:23

Alles vorherige: Nach Anlaufproblemen richtig. Aber die expl. Darstellung ist falsch.
Schau auf die allg. Form oben (die mit den c_1, c_2, c_3. Setze nacheinander n=1, n=2, n=3 ein, weil Du ja a_1, a_2, a_3 kennst. Das gibt ein LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Das löst man und hat damit die c_1, c_2, c_3. Mach mit Deinem Ergebnis erst die Probe, bevor Du es hier hinschreibst.
  ─   mikn 24.06.2021 um 18:33

Danke vielmals um Ihre Hilfe, und ich entschuldige mich für mein Generve gestern...
Das LGS sieht dann so aus:

-C1 - 5C2 + 5C3 = -6
C1 + 25C2 + 25C3 = 8
-C1 - 125C2 + 125C3 =42

Wenn man das dann löst bekommt man für C1 = 8, C2 = -1/5 , C3 = 1/5

Somit die explizite Darstellung : an = 8*(-1)^n + ((-1/5)*(-5)^n) + (1/5)*5^n
Hab die Probe gemacht und für n Werte eingesetzt, und das stimmt was dann da raus kommt
Und Häufungspunkt ist = 8
  ─   xaverhauer 25.06.2021 um 09:30

Ja, ist alles richtig. Man sollte noch erwähnen, es gibt keine weiteren HPe. Aufgabe war ja, ALLE zu bestimmen.
Vielleicht gibt es auch eine einfachere Lösung (ohne diesen allgem. Weg mit Nullstellen des char. Polynoms, was Ihr ja vielleicht nicht in der Lehrveranstaltung hattet). Wenn man es vereinfacht, ist ja \(a_n=5^{n-1}(1-(-1)^n)+8\cdot (-1)^n\), vielleicht kann man da auch anders drauf kommen.
  ─   mikn 25.06.2021 um 12:13

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