Folge: Rekursive in Explizite Darstellung Umwandeln

Aufrufe: 3320     Aktiv: 25.06.2021 um 12:13
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Guten Tag, habe schon wieder eine Frage... Ich soll hier von der Rekursiven in Explizite Darstellung Umwandeln, und hab mich schon eingelesen und informiert und hab schonmal einen (hoffentlich Richtigen) Ansatz... Man erkennt sofort dass bei 8 anscheinend ein Häufungspunkt ist.
Nur die Zahlenfolge von
-6
42
1242
31242

verstehe ich nicht ganz, es kommt halt immer eine 42 vor, aber die -6 passt halt auch garnicht..


Hat jemand eine Idee wie ich weiter vorgehen kann? und dann, wie soll ich das Ergebnis meiner Interpretation bitte in eine Explizite Transfomieren, sowas habe ich nooch nie gemacht, und hab absolut keinen Plan... Danke vielmals!

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Student, Punkte: 80

 
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Bei der Rekursionsformel \(a_n+b_1a_{n-1}+b_2a_{n-2}+b_3a_{n-3}=0\) bildet man zunächst das charakteristische Polynom \(p(x)=x^3+b_1x^2+b_2x+b_3\). Dann sucht man dessen Nullstellen (raten/Horner-Schema/Polynomdivision). Wenn die Nullstellen alle drei verschieden und reell sind, sagen wir \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\), (das ist hier der Fall), dann lautet die explizite Form
\(a_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+c_3\lambda_3^n\).
Die noch unbekannten \(c_i\) bestimmt durch Anpassung an die Startwerte.
Was erhälst Du am Ende?
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Lehrer/Professor, Punkte: 40.29K

 
Danke schonmal für die Rasche Antwort!.. Verstehe ich das richtig, ich soll quasi in die Rekursionsformel meine Anfangswerte a1,a2,a3 für hier jetzt b1,b2,b3 einsetzen, und diese ebenfalls in die p(x) einsetzten, und dann also die Rekursionsformel durch zb Polynomdivision durch p(x) teilen, dann erhalte ich drei 0 Stellen.... stimmt das so? Welchen Wert nehme ich bei an + b1an-1 + b2an-2 ...=0 ?   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 15:27
Bei meiner Polynomdivison erhalte ich als Ergebnis: x^2-2x+27-(2/x+1), kann ich da dann das (2/x+1) wegstreichen, oder muss ich noch alles so umformen dass zb x^2+x+b=0 um für die letzten beiden Nullstellen rechnen zu können?   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 16:06
ok... Polynom lautet bei mir: (x^3 - x^2 +25x +25):(x+1)... Ich habe die Nullstelle -1 geraten   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 16:19
also ist es x^3-x^2+25x+25=0 oder?   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 16:24
Ehrlich gesagt weiß ich nicht mehr was ich tun soll... ich habe für b1: -1, b2= 25, b3= 25 (die werte habe ich aus der Rekursionsformel entnommen) , die Werte in das das charakteristische Polynom eingesetzt, jetzt hab ich ja ein Polynom, was mach ich Flasch? Sollte doch so richtig sein...   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 16:45
jetzt hab ich noch eine Idee: meinen Sie das Polynom: x^3-42x^2+200x-150=0?   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 17:05
hahahah nein ich glaub ich habs, meinen Sie x^3+x^2-25x-25=0   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 17:13
Ja jetzt hab ichs endlich, wie blöd kann man sein, schon ein langer Tag haha...Geratene Nullstelle: -1
Polynomdivision lautet: (x^3+x^2-25x-25):(x+1), da kommt dann x^2-25 heraus... dann noch die Wurzel ziehen und wir haben x1= -1, x2=-5, x3=5   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 17:19
Also lautet die explizite Darstellung dann wie folgt, an=(-6)*(-1)^n + 8*(-5)^n + 42*5^n

Stimmt das? Und Häufungspunkt ist 8, oder?   ─   xaverhauer 24.06.2021 um 17:23
Danke vielmals um Ihre Hilfe, und ich entschuldige mich für mein Generve gestern...
Das LGS sieht dann so aus:

-C1 - 5C2 + 5C3 = -6
C1 + 25C2 + 25C3 = 8
-C1 - 125C2 + 125C3 =42

Wenn man das dann löst bekommt man für C1 = 8, C2 = -1/5 , C3 = 1/5

Somit die explizite Darstellung : an = 8*(-1)^n + ((-1/5)*(-5)^n) + (1/5)*5^n
Hab die Probe gemacht und für n Werte eingesetzt, und das stimmt was dann da raus kommt
Und Häufungspunkt ist = 8   ─   xaverhauer 25.06.2021 um 09:30

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