Integral Substitution mit Hyperbelfunktionen

Aufrufe: 64     Aktiv: 25.04.2021 um 16:19

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Hallo, 

habe folgendes Integral: 

\(\int_{0}^{8}\sqrt{1+x^2}dx\)

\(x = sinh(u)\) und \(dx = cosh(u)du\)

Nach Verwendung von den Additionstheoremen bin ich am folgenden Punkt: 

\(\int_{0}^{8}cosh^2(u)du\)

Ab hier komm ich nicht mehr weiter...ich muss noch die Grenzen umändern (transformieren) und dann zurück substituieren(?)

Komm ich zu den neuen Grenzen, indem ich die 0 und 8 in \(1+sinh(u)\) einsetze? Das wäre dann 1 und 2,2, kommt mir aber komisch vor.
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1 Antwort
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Moin,
zunächst muss tu tatsächlich die Integrationsgrenzen ändern: \(\int_0^{sinh^{-1}(8)}cosh^2(u) du\)
Daraufhin kannst du die quadratische Identität des cosh(x) anwenden: \(cosh^2(x)=\frac{1}{2} \cdot (cosh(2x)+1)\).
Von da an kannst du einfach integrieren und einsetzen, zurück substituieren musst du dann nicht mehr.
Kontrollergebnis: \(\int_0^8\sqrt{1+x^2}= \frac {1}{2} \cdot (8 \cdot \sqrt{65}+ sinh^{-1}(8))\) 
bei weiteren Fragen melde dich gerne,
Fix
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geantwortet

Schüler, Punkte: 380
 

Wie genau kommst du auf die neuen Integrationsgrenzen?   ─   universeller 24.04.2021 um 21:44

So: \(x = sinh(u) -> u = sinh^{-1}x\) und dann jeweils für u 0 und 8 einsetzen   ─   universeller 24.04.2021 um 21:55

Dein Kontrollergebnis versteh ich auch nicht ganz. Mein Rechenweg ab \(cosh^2(x)\) sieht so aus:
\(\int_{0}^{sinh^-1(8)} \frac{1}{2}cosh(2u)+1\)
\(= \frac{1}{2}\int_{0}^{sinh^-1(8)}cosh(2u)+1 \)
\(= \frac{1}{2}\frac{sinh(2u)}{2}+x\)
\(= \frac{1}{2}\frac{sinh(2*sinh^-1(8))}{2}+x - \frac{1}{2}\frac{sinh(2*0)}{2}+x \)

Aber hier stimmt etwas nicht
  ─   universeller 24.04.2021 um 22:17

Nun du musst beachten, dass du in der "u-Welt" integrierst, d.h. das Integral von 1 = u.
Außerdem gilt \(\frac{1}{2}\sinh(2 \cdot u)=sinh(u) \cdot cosh(u)\). Dadurch erhältst du:
\(\frac{1}{2}(sinh(sinh^{-1}(8)) \cdot cosh(sinh^{-1}(8))+sinh^{-1}(8))\).
Nun ist der \(sinh(sinh^{-1}(8))\) einfach 8, der \(cosh(sinh^{-1}(8))\) gleich \(\sqrt{65}\) (\(cosh(sinh^{-1}(x))=\sqrt{x^2+1}\), 8 eingesetzt ergibt \(\sqrt{65}\) ).
Wenn du das alles einsetzt erhältst du das angegebene Kontrollergebnis.
LG
Fix
  ─   fix 25.04.2021 um 02:15

Wie kommst du auf \(sinh(2u)=sinh(u) * cosh(u)\)?
  ─   universeller 25.04.2021 um 11:09

Sorry, hatte mich vertippt, ich meinte:\(\frac{1}{2} \cdot sinh(2 \cdot u)=sinh(u)\cdot cosh(u)\)   ─   fix 25.04.2021 um 15:14

das ist eine relativ bekannte identität   ─   fix 25.04.2021 um 15:14

Ah, wäre das: \(sinh(2u) = 2cosh(u) sinh(u)\) und die 2 kürzt sich mit \(\frac{1}{2}\) ?
  ─   universeller 25.04.2021 um 16:04

ja genau   ─   fix 25.04.2021 um 16:11

Ok, dann ists klar. Vielen Dank!   ─   universeller 25.04.2021 um 16:19

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