(Twitter)
1
Hallo,
wir starten mit
$$ f(n) = n! \cdot \binom{n}{2} $$
und
$$ \frac {f(n+1)} {2(n+1)} \leq f(n) \leq \frac {f(n+1)} {n+1} $$
Im ersten Schritt setzen wir erstmal die Funktion in die Ungleichung.
Im zweiten Schritt passieren 2 Sachen. Wir setzen die Definition des Binomialkoeffizienten ein und teilen durch \( n! \).
Dadurch das
$$ (n+1)! = n! \cdot (n+1) $$
gilt, bleibt auf beiden Seite \( n+1 \) übrig.
Im nächsten Schritt wird wieder durch \( n! \) geteilt und mit \( 2! \) multipliziert.
Dann multiplizieren wir mit \( (n-2)! \). Da
$$ (n-1)! = (n-1) \cdot (n-2)! $$
gilt, erhalten wir die nächste Zeile.
Zur letzten Zeile multiplizieren wir noch alles mit \( 2 \) und formen etwas um.
Versuch die Schritte mal nach zu vollziehen. Wenn doch noch etwas unklar ist oder bei den Umformungen später etwas nicht klappt, melde dich gerne nochmal. Dann gehen wir dort nochmal mehr ins Detail.
Grüße Christian
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Hallo, ich komme leider auf was anderes, wenn ich das ganze zwei mal durch n! teile. :/ Ich habe oben ein neues Foto meiner Rechnung zugefügt
─
kamil
26.02.2020 um 16:43
Machen wir es Schritt für Schritt.
$$ \begin{array}{ccccccl} & \frac {(n+1)!} {2(n+1)} \cdot \binom{n+1}{2} & \leq & n! \cdot \binom{n}{2} & \leq & \frac {(n+1)!} {n+1} \cdot \binom{n+1}{2} \\ \Rightarrow & \frac {n! (n+1)} {2(n+1)} \cdot \frac {(n+1)!} {(n-1)!2!} & \leq & n! \frac {n!} {(n-2)!2!} & \leq & \frac {n! (n+1)} {n+1} \cdot \frac {(n+1)!} {(n-1)!2!} & | \div n! \\ \Rightarrow & \frac {(n+1)} {2(n+1)} \cdot \frac {(n+1)!} {(n-1)!2!} & \leq & \frac {n!} {(n-2)!2!} & \leq & \frac { (n+1)} {n+1} \cdot \frac {(n+1)!} {(n-1)!2!} \\ \Rightarrow & \frac {(n+1)} {2(n+1)} \cdot \frac {n!(n+1)} {(n-1)!2!} & \leq & \frac {n!} {(n-2)!2!} & \leq & \frac {(n+1)} {n+1} \cdot \frac {n!(n+1)} {(n-1)!2!} & | \div n! \\ \Rightarrow & \frac {(n+1)} {2(n+1)} \cdot \frac {(n+1)} {(n-1)!2!} & \leq & \frac {1} {(n-2)!2!} & \leq & \frac {(n+1)} {n+1} \cdot \frac {(n+1)} {(n-1)!2!} & |\cdot2! \\ \Rightarrow & \frac 1 2 \frac {n+1} {(n-1)!} & \leq & \frac 1 {(n-2)!} & \leq & \frac {n+1} {(n-1)!} \end{array} $$
─ christian_strack 26.02.2020 um 16:55
$$ \begin{array}{ccccccl} & \frac {(n+1)!} {2(n+1)} \cdot \binom{n+1}{2} & \leq & n! \cdot \binom{n}{2} & \leq & \frac {(n+1)!} {n+1} \cdot \binom{n+1}{2} \\ \Rightarrow & \frac {n! (n+1)} {2(n+1)} \cdot \frac {(n+1)!} {(n-1)!2!} & \leq & n! \frac {n!} {(n-2)!2!} & \leq & \frac {n! (n+1)} {n+1} \cdot \frac {(n+1)!} {(n-1)!2!} & | \div n! \\ \Rightarrow & \frac {(n+1)} {2(n+1)} \cdot \frac {(n+1)!} {(n-1)!2!} & \leq & \frac {n!} {(n-2)!2!} & \leq & \frac { (n+1)} {n+1} \cdot \frac {(n+1)!} {(n-1)!2!} \\ \Rightarrow & \frac {(n+1)} {2(n+1)} \cdot \frac {n!(n+1)} {(n-1)!2!} & \leq & \frac {n!} {(n-2)!2!} & \leq & \frac {(n+1)} {n+1} \cdot \frac {n!(n+1)} {(n-1)!2!} & | \div n! \\ \Rightarrow & \frac {(n+1)} {2(n+1)} \cdot \frac {(n+1)} {(n-1)!2!} & \leq & \frac {1} {(n-2)!2!} & \leq & \frac {(n+1)} {n+1} \cdot \frac {(n+1)} {(n-1)!2!} & |\cdot2! \\ \Rightarrow & \frac 1 2 \frac {n+1} {(n-1)!} & \leq & \frac 1 {(n-2)!} & \leq & \frac {n+1} {(n-1)!} \end{array} $$
─ christian_strack 26.02.2020 um 16:55
Ich kann die Rechnung nicht so gut sehen, wie die davor? Ist es nur bei mir so?
─
kamil
26.02.2020 um 17:00
Jetzt müsste es funktionieren.
─
christian_strack
26.02.2020 um 17:04
Ich bin jetzt bei dem letzten Äquivalenzzeichen angekommen und verstehe nicht, wieso das da steht. Wenn ich mit 2 multipliziere, komme ich auf was anderes. Und auch wenn ich *(n-1) alles nehme, um auf den gleichen Nenner zu kommen.
Und dann ganz am Ende, wieso steht da "0" ganz links? Und wieso gilt es nur für n>=3? Wenn ich etwas kleineres einsetze, gilt die Formel dann nicht? Dann hätte ich es doch sowie bei a) machen können. Es ist dann ein Gegenbeispiel, wenn es für etwas nicht aufgeht? Also wozu Der Beweis?
Prinzipiell danke für die Antwort. Was ich mitgenommen habe, ist sowas wie, (n+1)!=n!(n+1) oder (n-1)!=(n-1)(n-2)! hilfreich. Sowas muss man wissen. Aber sonst, wie sieht man sowas auf Anhieb, was man machen muss? Hast du noch irgendwelche Tipps? :P
Grüße
Kamil
─ kamil 26.02.2020 um 21:10
Und dann ganz am Ende, wieso steht da "0" ganz links? Und wieso gilt es nur für n>=3? Wenn ich etwas kleineres einsetze, gilt die Formel dann nicht? Dann hätte ich es doch sowie bei a) machen können. Es ist dann ein Gegenbeispiel, wenn es für etwas nicht aufgeht? Also wozu Der Beweis?
Prinzipiell danke für die Antwort. Was ich mitgenommen habe, ist sowas wie, (n+1)!=n!(n+1) oder (n-1)!=(n-1)(n-2)! hilfreich. Sowas muss man wissen. Aber sonst, wie sieht man sowas auf Anhieb, was man machen muss? Hast du noch irgendwelche Tipps? :P
Grüße
Kamil
─ kamil 26.02.2020 um 21:10
Vorweg beantworte ich die frage mit \( n \geq 3 \).
Wir sollen ja die Ungleichung für \( n \in \mathbb{N} \backslash \{1,2\} \) beweisen. Also für alle natürlichen Zahlen außer der \( 1 \) und \( 2 \). Das heißt eben \( n \geq 3 \). Im Beweis wirst du auch sehen warum.
$$ \begin{array}{ccccccl} & \frac 1 2 \cdot \frac {n+1} {n-1} & \leq & 1 & \leq & \frac {n+1} {n-1} & | \cdot 2 \\ \Rightarrow & \frac {n+1} {n-1} & \leq & 2 & \leq & 2 \cdot \frac {n+1} {n-1} \\ \Rightarrow & \frac {n-1+2} {n-1} & \leq & 2 & \leq & 2 \cdot \left( \frac {n-1+2} {n-1} \right) \\ \Rightarrow & \frac {n-1} {n-1} + \frac 2 {n-1} & \leq & 2 & \leq & 2 \cdot \left( \frac {n-1} {n-1} + \frac 2 {n-1} \right) \\ \Rightarrow & 1 + \frac 2 {n-1} & \leq & 2 & \leq & 2 \cdot \left( 1 + \frac 2 {n-1} \right) \end{array} $$
Nun sind wir in unserem Beweis an einem Punkt angekommen an dem wir das Ergebnis abschätzen können.
Wir betrachten
$$ 1 + \frac 2 {n-1} $$
Wenn wir \(1 \) einsetzen teilen wir durch Null und wenn wir \( 2 \) einsetzen, ergibt der Bruch \( \frac 2 {2-1} = 2 \) und dann wäre
$$ 1+2 \leq 2 $$
falsch. Setzen wir \( n=3 \) erhalten wir
$$ 1 + \frac 2 {3-1} = 1 +1 \leq 2 $$
das stimmt. Für größere \( n \) wird der Bruch kleiner als \( 1 \) aber immer größer als \( 0 \).
Das ganze wird durch
$$ 0 < \frac 2 {n-1} \leq \frac 2 {3-1} = 1 $$
ausgedrückt.
Damit ist der linke Teil immer kleiner gleich \( 2 \) aber größer als \( 1 \). Da die rechte Seite das doppelte der Linken ist, ist diese automatisch größer als \(2 \cdot 1 = 2 \) und kleiner als \( 2 \cdot 2 = 4 \) (was hier keine Rolle mehr spielt).
Ja das ist im Großen und Ganzen das wichtigste was man über Rechnen mit Fakultäten und somit rechnen mit dem Binomialkoeffizienten wissen musst. Bedenke immer das wir einen Faktor aus der Fakultät herausholen können. Dann wird meistens gekürzt und es bleibt ein einfacher Linearfaktor über.
Auch beispielsweise bei Induktion wenn aus \( n \to n+1 \) wird. Wenn man beispielsweise
$$ (2n)! $$
hat wird daraus
$$ (2(n+1))! = (2n+2)! = 2n! \cdot (2n+1) \cdot (2n+2) $$
und man kommt so zurück auf den Anfangsausdruck ─ christian_strack 26.02.2020 um 23:01
Wir sollen ja die Ungleichung für \( n \in \mathbb{N} \backslash \{1,2\} \) beweisen. Also für alle natürlichen Zahlen außer der \( 1 \) und \( 2 \). Das heißt eben \( n \geq 3 \). Im Beweis wirst du auch sehen warum.
$$ \begin{array}{ccccccl} & \frac 1 2 \cdot \frac {n+1} {n-1} & \leq & 1 & \leq & \frac {n+1} {n-1} & | \cdot 2 \\ \Rightarrow & \frac {n+1} {n-1} & \leq & 2 & \leq & 2 \cdot \frac {n+1} {n-1} \\ \Rightarrow & \frac {n-1+2} {n-1} & \leq & 2 & \leq & 2 \cdot \left( \frac {n-1+2} {n-1} \right) \\ \Rightarrow & \frac {n-1} {n-1} + \frac 2 {n-1} & \leq & 2 & \leq & 2 \cdot \left( \frac {n-1} {n-1} + \frac 2 {n-1} \right) \\ \Rightarrow & 1 + \frac 2 {n-1} & \leq & 2 & \leq & 2 \cdot \left( 1 + \frac 2 {n-1} \right) \end{array} $$
Nun sind wir in unserem Beweis an einem Punkt angekommen an dem wir das Ergebnis abschätzen können.
Wir betrachten
$$ 1 + \frac 2 {n-1} $$
Wenn wir \(1 \) einsetzen teilen wir durch Null und wenn wir \( 2 \) einsetzen, ergibt der Bruch \( \frac 2 {2-1} = 2 \) und dann wäre
$$ 1+2 \leq 2 $$
falsch. Setzen wir \( n=3 \) erhalten wir
$$ 1 + \frac 2 {3-1} = 1 +1 \leq 2 $$
das stimmt. Für größere \( n \) wird der Bruch kleiner als \( 1 \) aber immer größer als \( 0 \).
Das ganze wird durch
$$ 0 < \frac 2 {n-1} \leq \frac 2 {3-1} = 1 $$
ausgedrückt.
Damit ist der linke Teil immer kleiner gleich \( 2 \) aber größer als \( 1 \). Da die rechte Seite das doppelte der Linken ist, ist diese automatisch größer als \(2 \cdot 1 = 2 \) und kleiner als \( 2 \cdot 2 = 4 \) (was hier keine Rolle mehr spielt).
Ja das ist im Großen und Ganzen das wichtigste was man über Rechnen mit Fakultäten und somit rechnen mit dem Binomialkoeffizienten wissen musst. Bedenke immer das wir einen Faktor aus der Fakultät herausholen können. Dann wird meistens gekürzt und es bleibt ein einfacher Linearfaktor über.
Auch beispielsweise bei Induktion wenn aus \( n \to n+1 \) wird. Wenn man beispielsweise
$$ (2n)! $$
hat wird daraus
$$ (2(n+1))! = (2n+2)! = 2n! \cdot (2n+1) \cdot (2n+2) $$
und man kommt so zurück auf den Anfangsausdruck ─ christian_strack 26.02.2020 um 23:01