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Hallo,
ein Vektorraum \( U \) ist ein linearer Unterraum von einem Vektorraum \( V \), wenn der Nullvektor aus \( V \) enthalten ist und der Vektorraum bzgl. der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation von \( V \) abgeschlossen ist.
$$ u+w \in U \quad \forall u,w \in U $$
und
$$ \lambda \cdot u \in U \quad \forall u \in U \land \lambda \in K $$
wobei \( K \) der zugrundeliegende Körper von \( V \) ist.
Auf diese Eigenschaften musst du dein \( U \) prüfen.
Die Dimension ist die Anzahl der Basiselemente von \( U \). Wie sieht die Basis von \( U \) aus? Oder zuerst einmal, was ist eine Basis?
Versuch dich mal etwas und sag dann wo du nicht weiter kommst.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Das mit dem Nullvektor stimmt. Die anderen beiden Eigenschaften, musst du mit zwei allgemeinen Vektoren zeigen. Ansonsten würde ja die Eigenschaft mit den Nullvektor reichen ;)
Mache dir erstmal klar, welche Vektoren überhaupt alles in dem Untervektorraum sind. Löse dafür das LGS
$$ 2x_1 - x_2 + x_3 = 0 $$
klingt jetzt komisch das ich LGS sage, weil nur eine Gleichung da ist, aber löse es so als wäre es ein LGS :) ─ christian_strack 19.11.2020 um 14:36
Mache dir erstmal klar, welche Vektoren überhaupt alles in dem Untervektorraum sind. Löse dafür das LGS
$$ 2x_1 - x_2 + x_3 = 0 $$
klingt jetzt komisch das ich LGS sage, weil nur eine Gleichung da ist, aber löse es so als wäre es ein LGS :) ─ christian_strack 19.11.2020 um 14:36
Hallo Christian,
ich habe in die Fragestellung nochmal einen Screenshot angehängt mit einen möglichen Lösungsweg :) ─ jsteiner 19.11.2020 um 16:32
ich habe in die Fragestellung nochmal einen Screenshot angehängt mit einen möglichen Lösungsweg :) ─ jsteiner 19.11.2020 um 16:32
yes sehr gut. Damit hast du Basis und Dimension.
Jetzt müssen wir nur noch zu Ende zeigen, dass wir einen Unterrraum haben.
Nullvektor ist klar das haben wir.
Jetzt nehmen wir mal zwei Vektoren
$$ \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} , \quad \vec{w} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} $$
bestimmte mal die Summe und prüfe ob die Summe die Gleichung erfüllt. Bedenke dabei, dass jeder dieser beiden Vektoren selbst die Gleichung erfüllt.
Kommst du auf den Ansatz zur skalaren Multiplikation? ─ christian_strack 19.11.2020 um 16:48
Jetzt müssen wir nur noch zu Ende zeigen, dass wir einen Unterrraum haben.
Nullvektor ist klar das haben wir.
Jetzt nehmen wir mal zwei Vektoren
$$ \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} , \quad \vec{w} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} $$
bestimmte mal die Summe und prüfe ob die Summe die Gleichung erfüllt. Bedenke dabei, dass jeder dieser beiden Vektoren selbst die Gleichung erfüllt.
Kommst du auf den Ansatz zur skalaren Multiplikation? ─ christian_strack 19.11.2020 um 16:48
Noch als kleine Anmerkung: Du hast hier eine Ebene. Das kennt man ja vermutlich noch als Koordinatenform aus dem Abitur. Die Spannvektoren die wir damals gebraucht haben um eine Ebene aufzuspannen, kann man sich als Basisvektoren vorstellen. Damit man mal ein Bild davon hat was hier überhaupt gerechnet wird ;)
Allgemein ist so eine Ebene immer Untervektorraum vom \( \mathbb{R}^n \), solange sie durch den Nullpunkt geht. Ansonsten nennt man das ganze affiner Unterraum. (nicht wichtig für die Aufgabe aber vielleicht interessant :P) ─ christian_strack 19.11.2020 um 16:49
Allgemein ist so eine Ebene immer Untervektorraum vom \( \mathbb{R}^n \), solange sie durch den Nullpunkt geht. Ansonsten nennt man das ganze affiner Unterraum. (nicht wichtig für die Aufgabe aber vielleicht interessant :P) ─ christian_strack 19.11.2020 um 16:49
Ich habe die Addition angehängt.
Die skalare Multiplikation werde ich jetzt noch versuchen :) ─ jsteiner 19.11.2020 um 18:16
Die skalare Multiplikation werde ich jetzt noch versuchen :) ─ jsteiner 19.11.2020 um 18:16
Der Nullvektor ist in V enthalten, da 2 * 0 - 0 + 0 = 0. Dann wäre die erste Eigenschaft schon erfüllt.
Die Vektoraddition ist auch abgeschlossen, da ich für u & w den Nullvektor hernehmen kann, da dieser in U enthalten ist. Und 0 + 0 ergibt immer 0.
Die skalare Multiplikation ist auch abgeschlossen, da ich für lambda die Null wählen kann (in R enthalten). 0 * irgendwas ist ja auch 0.
Das Basiselement von U ist ja dann (2, -1, 1). Eine Basis ist die Anzahl lineare unabhängiger Vektoren eines Vektorraums. (2, -1, 1) ist ja lineare unabhängig. Somit ist dann das meine Basis? Die Anzahl Basis ist 1 also Dimension 1? Ist das alles richtig?
─ jsteiner 19.11.2020 um 14:33