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Die Funktion ist für \(x=1\) nicht definiert, also ist auch das Riemann-Integral bis \(1\) nicht wohldefiniert. Man muss hier also den Limes betrachten. Das \( b \rightarrow 1- \) bedeutet einfach nur, dass die Grenze \(b\) von links gegen \(1\) geht. Das ergibt Sinn, denn das Integral ist nur für \(b < 1\) wohldefiniert.
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Zu deiner Frage, warum man nicht \( b \rightarrow 0+ \) nimmt: Das liegt daran, dass dann \( \lim_{b \to 0+} \int_0^b \dots dx = \int_0^0 \dots dx \) herauskommt und nicht das Integral, das man eigentlich bestimmen will.
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29.05.2020 um 17:59
super, die erste Sache habe ich schon mal verstanden! Vielen Dank bereits !!
andere Frage dazu noch..ich tu mich noch etwas schwer bei dem Thema..
wieso setze ich nicht einfach die Werte 1 und 0 in das Integral ein??
Also, woran erkenne ich überhaupt, das ich Näherungswerte wie hier z.B. 1- verwenden muss? ─ stiffii94 29.05.2020 um 18:02
andere Frage dazu noch..ich tu mich noch etwas schwer bei dem Thema..
wieso setze ich nicht einfach die Werte 1 und 0 in das Integral ein??
Also, woran erkenne ich überhaupt, das ich Näherungswerte wie hier z.B. 1- verwenden muss? ─ stiffii94 29.05.2020 um 18:02
Du musst immer die Bereiche auslassen, in denen die Funktion nicht definiert ist. Die Richtung der Annäherung wird durch den Bereich des Integrals bestimmt. Beispiel: \( \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} dx \). Hier ist die Funktion in \(x=0\) nicht definiert, deshalb muss man das Integral aufteilen und sich an die Stelle annähern. Man erhält \( \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} dx = \int_{-1}^0 \frac{1}{x^2} dx + \int_0^1 \frac{1}{x^2} dx = \lim_{a \to 0-} \int_{-1}^a \frac{1}{x^2} dx + \lim_{b \to 0+} \int_b^1 \frac{1}{x^2} dx \).
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29.05.2020 um 18:07
Woher weiß ich dann, dass die Funktion nicht definiert ist?
bei dir x=0 !
aber bei mir ist es doch definiert...von 0 bis 1...dachte ich? ─ stiffii94 29.05.2020 um 18:12
bei dir x=0 !
aber bei mir ist es doch definiert...von 0 bis 1...dachte ich? ─ stiffii94 29.05.2020 um 18:12
Am besten prüft man das durch Einsetzen nach (wenn der Definitionsbereich nicht sowieso angegeben ist). Wenn du in \( \frac{1}{ \sqrt[3]{(x-1)^2} } \) einfach \( x=1\) einsetzen würdest, dann müsstest du durch Null teilen und das geht nicht. Also ist \( \frac{1}{ \sqrt[3]{(x-1)^2} } \) in \(x=1\) nicht definiert. Damit kann dann aber auch das Riemann-Integral bis \(1\) nicht definiert sein.
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29.05.2020 um 18:23