Eine Lösungsmöglichkeit ist die Nutzung einer verschobenen Halbkreisfunktion \(f(x) = \sqrt{r^2-(x+r-h)^2}\) mit Kreisradius \(r\), und Füllhöhe \(h\).
Die gefüllte Fläche liefert nun die Integration \[A_K(h) = 2\int_0^h f(x) \;\mathrm{d}x = 2r^2\arcsin \sqrt{\frac{h}{2r}} - (r-h) \sqrt{h(2r-h)}\].
Für das Verhältnis zur gesamten Fläche \(\mu\) gilt \(\mu = \frac{A_K(h)}{r^2 \pi}\), also lässt sich die Gleichung \[ 2r^2\arcsin \sqrt{\frac{h}{2r}} - (r-h) \sqrt{h(2r-h)} = \mu r^2 \pi\] aufstellen, die nach \(h\) nur numerisch auflösbar ist.

Eine Möglichkeit wäre eine Anwendung des Newton-Verfahrens (viel darüber hinaus gehen meine Kenntnisse in der Numerik leider nicht, da gibt es vermutlich was effizienteres). Soll heißen: du ziehst die rechte Seite auf die linke, sodass rechts \(0\) steht und erhältst \(f(h) = 2r^2 \arcsin \sqrt{\frac{h}{2r}} - (r-h)\sqrt{h(2r-h)} - \mu r^2\pi = 0\).
Jetzt die Anwendung des Newton-Verfahrens mit Startwert \(h_0\): \(h_{n+1} = h_n - \frac{f(h_n)}{f'(h_n)}\), mit einem Sinnvollen Startwert \(\begin{cases} h_0 \in (0,r), & \mu \in (0,\frac{1}{2}) \\ h_0 \in (r,2r), & \mu\in (\frac{1}{2},1)\end{cases}\) solltest du nach einigen Iterationen eine gute Approximation für h erhalten.

Hier ein kleine MatLab-Funktion.

Aufruf bspw.: >> height_cyl(35,0.3,10,1E-8);
-> Für \(r=35mm\) und \(\mu = 0.3\) erhältst du somit \(h \approx 23.8108 mm\).

Ich würde mich über die Sehne im Kreis nähern an das Problem... mit Hilfe des Apothemas und des bekannten r dürfte es möglich sein, die von den diversen Sehnen abhängig die beiden idR ungleichen kreis- Teilinhalte zu berechnen. Lediglich die Sehne durch den Kreismittelpunkt ist trivial, also 50% .