Extrem-/Wendestellen der Funktionsschar \(f_{k}(x)=ke^x-e^-x\)

Erste Frage Aufrufe: 486     Aktiv: 01.03.2021 um 11:21

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Bisherige Ableitungen sind: \( f'_{k}(x)=ke^x+e^{-x} \) und \(f''_{k}(x)=ke^x-e^{-x} \)

Nullstelle und Wendestelle sind so \( x= \frac {ln(k)} {-2} \)
Extremstelle ist \(x= \frac {ln(k)} {2} \)

Sind die Ansätze so richtig, und wie kann ich jetzt die Extremstellen mit f'' überprüfen und die Y-Koordinate herausbekommen. Einsetzen in die Ausgangsfunktion, klar, aber wie macht man ab da weiter, wenn eingesetzt \(f_{k}(x)=ke^{\frac {ln(k)} {2}}-e^{-\frac {ln(k)} {2}}\)  ist. Ist da kompliziertes Auflösen der richtige Ansatz, oder übersehe ich irgendwas? Wie amche ich außerdem mit der Wendestelle weiter?

Die Folgeaufgabe besteht zudem darin, die Ortskurve der Extrempunkte zu ermitteln. Wie gehe ich dort in diesem Fall vor? Die Lehrerin hat zwar den allgemeinen Ablauf behandelt, jedoch nicht im Bezug auf e-Funktionen :/

Vielen Dank für eure Hilfe schon mal jetzt,
b3taphase
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Schau Dir mal die Potenzgesetze an. Damit kannst Du \(a^\frac{1}{2}\) umformen zu \(\sqrt{a}\) und \(\frac{b}{2}\) ist eben \(\frac{1}{2}\cdot b\). Mit den Logarithmusgesetzen bekommst Du das \(e^{\ln x}\) weg.

Wenn Du es selbst lösen willst, lies nicht weiter

\(
e^{\frac{\ln k}{2}} = e^{\ln k\cdot \frac{1}{2}} = (e^{\ln k})^{\frac{1}{2}}
= k^{\frac{1}{2}} = \sqrt{k}
\)

Somit findest Du ein Ergebnis \(f_k(e^{\frac{\ln k}{2}}) = …\) indem irgendwas in Abhängigkeit von \(k\) steht. Dies ist wie eine Funktion \(g(k)\) in Abhängigkeit von \(k\) und daher bezeichnet man das als Ortskurve.

Zum Überprüfen Deiner Zwischenergebnisse kannst Du Dir immer wieder ein beliebiges \(k\) wählen und diese Gleichung in den Taschenrechner eingeben und sie Dir zeichnen lassen. Prüfe am besten mit mehreren Werten und nicht nur mit -1, 0 oder 1. Um z.B. die Ortskurve zu sehen, kannst Du Dir einfach fünf oder sechs solche \(f_k(x)\) in ein Koordinatensystem zeichnen lassen und dann siehst Du schon grob, ob Dein Ergebnis hinkommt.
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