Es geht nochmal um ein darstellende Matrix

Aufrufe: 180     Aktiv: 12.06.2022 um 15:07

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Auf P3(R) betrachten wir die symmetrische Bilinearform s, die gegeben ist durch das Integral

                                        s(f,g):= 1/2 -1 S 1 f(t)g(t)  dx

Bestimmen Sie die darstellende Matrix von s bezüglich der geordneten Basis A ={1, t, t^2, t^3}

Beweis: (MA (s))i,j   = s(t^i-1,t^j-1) = 1/2 -1 S 1 t^i+j-2 dt   =  1/2* 1+(-1)^i+j/(i+j-1)

daraus folgt die darstellende Matrix MA (s) =

    (1   0  1/3   0         0   1/3   0  1/5       1/3  0  1/5   0        0  1/5   0  1/7)

Ich kann das bisherige Wissen leider nicht ohne weiteres auf diese Aufgabe anwenden.
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Was verstehst du denn genau nicht, es ist genau das selbe Vorgehen, wie in deiner anderen Frage. Liegt es an den Polynomen?   ─   mathejean 11.06.2022 um 17:40

es liegt an den Polynomen und an dem Integral. Ich gehe da   ─   atideva 11.06.2022 um 18:14

Wenn du die allgemeine Formel nicht hinbekommst mit dem $i$ und $j$, musst du es halt für jede Zahlenkombination explizit nachrechnen. Integrale kriegst du hoffentlich berechnet.   ─   cauchy 11.06.2022 um 18:16

Ich überlege die ganze Zeit, wie ich die Polynome auf das Integral entsprechend übertrage. Da muss jetzt mein Gedankengang nicht unbedingt richtig sein.   ─   atideva 11.06.2022 um 18:19

Indem du sie in das Integral einsetzt. Setze z.B. $f(t)=1$, $g(t)=t^2$ usw. Das machst du halt für jede beliebige Kombination.

Setze dich bitte unbedingt mit den mathematischen Notationen auseinander. Das ist anscheinend eines deiner häufigsten Probleme, warum du nicht vorankommst. Du verstehst einfach die mathematischen Schreibweisen nicht.
  ─   cauchy 11.06.2022 um 18:24

Danke für diesen Hinweis. Das ist sicher richtig. Ich brauche einfach länger, als vielleicht andere. Aber ich werde es gegen noch so "vermeintlich starken Gegenwind durchziehen".   ─   atideva 11.06.2022 um 18:37

Mach das ruhig in deinem Tempo. Die Hauptsache ist, dass du das nachvollziehen kannst. Aber für solche Dinge ist die mathematische Notation wirklich sehr wichtig. Deine Billinearform ist ja gegeben als $s(f,g)$ (eigentlich $s(f(t),g(t))$), das heißt, du steckst zwei Funktion $f$ und $g$ rein. Da Polynome auch Funktionen sind, kannst du also für jedes Paar von Polynomen zum Beispiel $s(t, t^2)$ berechnen. Dabei werden jetzt in deiner Billenearform $f(t)$ durch $t$ ersetzt und $g(t)$ durch $t^2$. Mach dir solche Dinge klar. Nicht nur für diese Aufgabe, sondern ganz allgemein.   ─   cauchy 11.06.2022 um 18:51

.... also genauso wie Du Deine ascii-Notation gegen unseren Gegenwind der LaTeX-Empfehlung durchziehst.
Es ist nicht immer heldenhaft sich Gegenwind zu widersetzen. Manchmal ist es auch sinnvoll dem nachzugeben. Oft zitiert wird: "wir können den Wind nicht ändern, aber die Segel anders setzen."
  ─   mikn 11.06.2022 um 19:18

Das ist nicht so, dass ich mich gegen Latex wehre. Ich schaff`s bis jetzt einfach nicht. Zumindest nicht hier in dem Portal. Mir wäre es mit Latex wesentlich lieber. Ich bin, da ich ja formal an der Fernuni bin, zu einem Medienberater, also einem der sich einigermaßen mit Computern auskennt und habe mit Software, installieren lassen. Ich hätte es selbst nicht geschafft. Es hat also absolut nichts damit zu tun, dass ich mich gegen Latex stelle. Bei der Fernuni gibt es zum einen den Wires Editor wo ich Formeln problemlos so schreiben kann wie ich möchte und eine Plattform, die ich einfach anklicke, den jeweiligen Latex code eingebe und dann sehe ich das Ergebnis.   ─   atideva 11.06.2022 um 19:32

Man braucht ja nichts zu installieren um hier im Forum LaTeX zu verwenden. Und das Ergebnis sieht man auch sofort. Merkt man, wenn es einfach mal versucht. Die Anleitung, wo Du code direkt abtippen kannst, kennst Du ja auch.   ─   mikn 11.06.2022 um 19:39

Die Anleitung kenne ich nicht. Mir wurde mal, so weit ich mich erinnere ein Hinweis gegeben oder ein Link geschickt. Ich bin mit den Hinweisen oder Links nicht zurechtgekommen. Ich habe ganz am Anfang, als ich auf dieses Portal gekommen bin einen Hinweis gelesen, mit dem Latex möglich ist. Ich bin damit auch nicht klar gekommen. Um es praktisch zu machen. Ich gebe in Mathefragen etwas ein, jetzt muss ja irgendetwas da sein, damit ich den Code als Formel sehe. Denn wenn ich jetzt einen Code eingebe, dann kann man den Code sehen und sonst nichts.   ─   atideva 11.06.2022 um 19:49

Der Link, das war die Anleitung, hier nochmal: https://media.mathefragen.de/static/files/mathjax_howto.pdf
Und da steht es so, dass Du's direkt abtippen kannst. Und unter dem Eingabefenster sieht man direkt wie's aussieht, wie immer hier. Also: nur abtippen. Oder noch weniger: Geht auch mit cut-and-paste.
  ─   mikn 11.06.2022 um 20:35

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\(e^x=\sum{n=0}^{\infty}\frac{x^1n}{n!}\) ich glaub ich hab es   ─   atideva 11.06.2022 um 20:57

Also fast!   ─   atideva 11.06.2022 um 20:57

Sehr gut, sind nur Tippfehler drin.   ─   mikn 11.06.2022 um 21:14

\(e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\) jetzt sieht es schon besser aus. Sind unter diesem Link eigentlich alle notwendige Codes für Analysis und Lineare Algebra?   ─   atideva 11.06.2022 um 21:44

Es gibt noch viel mehr, aber mit den unter dem Link genannten Codes kann man Summen, Integrale, Potenzen, Brüche, Wurzeln setzen, damit kommt man schon sehr weit. Eine Matrix setzt man als:
$\text{\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}}$
  ─   mikn 11.06.2022 um 21:58

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wird korrigiert, danke. Es ist für mich komplizierter es so zu schreiben als in LaTeX. Ich muss da drei \ tippen, damit zwei erscheinen.   ─   mikn 11.06.2022 um 22:02

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Musste etwas basteln. Tipp an alle: Man kann einfach etwas in LaTeX gesetzte mit der Maus markieren, dann rechte-Maus-Taste "show math as" -> "TeX commands", dann sind alle Geheimnisse gelüftet.   ─   mikn 11.06.2022 um 22:16

https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

Auch immer wieder hilfreich. Gerade für Matrizen oder sowas.

Eigentlich war sowas mal für diese Plattform gedacht (Christian sagte das als ich entsprechendes Feedback gab), aber da die Seite kein Geld generiert, kümmert man sich eben um nichts.
  ─   cauchy 11.06.2022 um 22:39
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Okay, erstmal sehr gut alles was du in Kommentare gelernt hast, zurück zu Frage. In deine andere Frage haben wir gesehen, dass wenn \(A=(v_1,v_2,v_3,v_4)\) eine Basis von \(P_3(\mathbb{R})\), es ist \((M_A(s))_{ij}=s(v_i, v_j)\). Jetzt ist in dieser Aufgabe \(A=(1,t,t^2,t^3)\) die Basis, also \(v_1=1\),..., \(v_4=t^3\). Mit dieser Information könnte man jetzt schon die Matrix berechnen (mache das auch ruhig), aber es gibt einen Trick, es ist nämlich \(v_i=t^{i-1}\) und deshalb \(s(v_i,v_j)=s(t^{i-1},t^{j-1})\). Das kann man jetzt ausrechnen, indem man multipliziert und Stammfunktion bildet usw,  ist das klar?
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Um ehrlich zu sein, das ist mir noch nicht ganz klar.   ─   atideva 12.06.2022 um 09:24

Liegt dein Problem darin, dass du nicht verstehst wie Polynome Vektoren seien können, oder wie Integral berechnen?   ─   mathejean 12.06.2022 um 09:26

Es liegt darin, wie Polynome Vektoren sein können.   ─   atideva 12.06.2022 um 09:40

Sind denn die Vektorraumaxiome alle klar (also "abstrakte" Vektorräume über einem Körper)?   ─   mathejean 12.06.2022 um 10:02

Die sind klar.   ─   atideva 12.06.2022 um 10:20

Okay, sehr gut, dann können wir darauf jetzt bauen. Um aus Polynome einen Vektorraum zu machen brauchen wir also eine Addition und eine Skalarmultiplikation, die die VR-Axiome erfüllt, dann sind wir fertig. Weißt du wie diese Verknüpfungen für Polynome aussehen?   ─   mathejean 12.06.2022 um 10:53

aktuell weiß ich es nicht.   ─   atideva 12.06.2022 um 11:07

Weißt du, was ich meine mit komponentebweise Addition und Skalarmultiplikation?   ─   mathejean 12.06.2022 um 11:08

Ich denke, dass müsste gehen.   ─   atideva 12.06.2022 um 11:27

Okay, indem wir Polynome komponentenweise addieren und skalieren erhalten wir eine Vektorraumstruktur auf der Menge der Polynome.   ─   mathejean 12.06.2022 um 12:59

Das Problem gab's doch schon mal an anderer Stelle, ich weiß aber nicht mehr, ob es bei dir oder jemand anderes war: Vektoren haben hier erstmal nichts mit den Vektoren zu tun, die du in der Schule kennengelernt hast. Vektoren nennt man die Elemente eines Vektorraums und hier sind das eben Polynome.   ─   cauchy 12.06.2022 um 14:21

Was dieses Problem angeht, so vermute ich, dass das nicht bei mir vorkam. Und zwar deswegen, weil ich von der Schule her den Begriff Vektor noch nicht kannte. Aber deshalb wäre eine Erklärung des hier vorgetragenen Unterschiedes ganz gut. Falls es keine großen Umstände macht.   ─   atideva 12.06.2022 um 14:51

Okay, dann war es an anderer Stelle. :) Was ein Vektorraum ist, weißt du ja. Jedes $v\in V$ nennt man dann einen Vektor des Vektorraums. In der Schule werden in der analytischen Geometrie und linearen Algebra die Vektorräume $\mathbb{R}^2$ und $\mathbb{R}^3$ betrachtet, deren Vektoren als $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ bzw. $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ geschrieben werden. Aufgrund dieser Darstellung fällt es dann häufig schwer, wenn Vektoren eine andere Gestalt haben, wie in deinem Beispiel die Polynome. Sie lassen sich aber auch in diese Vektorform überführen, indem man deren Koordinatendarstellung bzgl. einer Basis des Vektorraums nutzt. Das sollte aber alles in der Vorlesung behandelt worden sein.   ─   cauchy 12.06.2022 um 15:07

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