Koordinatenabbildung (Eindeutigkeit der Reihenfolge)

Erste Frage Aufrufe: 167     Aktiv: 13.01.2022 um 22:08

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Hallo an alle,

hätte eine kleine, schon länger quälende Frage.
Allgemein ist ein Element in einem beliebigen Vektorraum eindeutig durch die Koordinaten zur gewählten Basis darstellbar. D.h. habe ich einfach meine Basen {b1, ..., bn}, so gibt es nur eine Linearkombination diese darzustellen (gäbe es zwei, so wären diese nicht linear unabhängig). Das ist klar und verständlich.

Unklares:
Was ich leider überhaupt nicht, bzw. schon, aber bis auf einen Punkt nicht verstehe, sind die Koordinatenabbildungen. Es ist klar, warum man diese benötigt, denn jeder beliebige Vektorraum (Polynome, usw (was es da noch gibt :)) Kann man beliebig auf den K^(n) abgebildet werden.
Betrachte ich jetzt z.B. den Vektorraum über alle Polynome bis zum Grad n, also (P[x], +, x) mit den Basen (1, x, x^(2), ..., x^(n)) und nehme mir, wie es der Intuition richtig erscheint ein Element heraus, z.B. 2x^(2) + 3x + 4
Dann ist mir vollkommen unklar, ob das in irgendeiner Form eindeutig ist. Denn nichts legt fest, was "meine erste" Basis ist. Ich könnte ja auch die Menge der Basen umschreiben (x, 1, x^(2), ..., x^(n))
d.h. dann würde ich obiges abbilden auf (3 (=Lambda 1) * x, 4 (=Lambda 2) * 1, 2 (=Lambda 3)*x^(2), also (3 4 2) (Koeffizienten)
genauso könnte ich aber auf (4 3 2) abbilden
Denn nichts legt fest, was meine erste Basis sein soll, folglich auch nicht, welches meine erste Koordinate sein soll.

Da mich die Frage schon sehr lange beschäftigt hoffe ich, dass mir jemand helfen kann. Ich danke euch schon mal herzlichst :)
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Man arbeitet bei Koordinaten immer mit geordneten Basen und schreibt deshalb statt einer Menge eine Familie.
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Vielen Dank. Ergibt Sinn, so ist die x - Koordinate die 1. Koordinate (also als Beispiel bei Polynomen der Konstante Koeffizient)
Das war mir implizit nicht klar - das sind Dinge, die bei Mathebüchern ziemlich nervig sein können :)
  ─   ottl 13.01.2022 um 22:08

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