Deine Idee ist schon gut. Setze j=n+1 in der linken Summe und ersetze dort alle n durch j-1. Dann entsteht genau die rechte Summe mit j. Ob rechts der Laufindex j oder n oder k oder l ist, ist ja egal.
Der Startindex für n ist 0, also ist der für j=0+1=1. Gäbe es einen Endindex, müsste der auch noch entsprechend angepasst werden. Die Summe könnte theoretisch sonstwo anfangen, bis n=-7 oder n=23. Tut sie aber hier nicht. Hier beginnt sie bei n=0 und daher mit j=1.
Im übrigen klären sich fast alle Fragen zu Summen (auch Produkten), wenn man die Summe ausschreibt als das wofür sie steht. Ist ja nur ein Abkürzungssymbol. Probier das mal.
Und noch: Das ist keine Äquivalenz, sondern eine Gleichheit. Mach Dir den Unterschied nochmal klar.

Ich verstehe nicht, warum du \(n\) durch \(j \) ersetzen möchtest.

Wichtig als erstes: \(n\) ist der Index und nicht wie sonst eine feste Zahl. D.h. du kannst \(n\) sofort 1 zu 1 mit \(j\) austauschen. Überabll wo vorher ein \(n\) stand, musst du dann ein \(j\) hinschreiben.

Zur Indexverschiebung (bzw. warum die Gleichung gilt).

Du machst den Index \(+1\), dann muss aber überall in der Summe der Index um \(-1\) gerechnet werden.

Vergleiche:

1. Summand linke Seite: Setze \(n=0\) ein.
1. Summand rechte Seite: Setze \(n=1\) ein.

Es kommt das gleiche raus.

Hoffe das beantwortet deine Hauptfrage!