Unterräume hilllllffeeeeeeeeeeeeee

Aufrufe: 192     Aktiv: 03.07.2024 um 23:15
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 Sei P3 der  Vektorraum der Polynome mit einer Variablen mit Grad höchstens 3. Bestimmer Sie bei jederTeilaufgabe, ob die jeweilige Menge einen Unterraum von P3 darstellt oder nicht:
 
a) Die Menge der Polynome  der Forme p(x)= cx, wobei c Element von R beliebig
b) Die Menge der Polynome  der Forme p(x)= x^2 + d, wobei d Element von R beliebig
c) Die Menge der Polynome  der Forme p(x)= ax^3 +bx^2+cx+ d, wobei a,b,c,d Element von R beliebig
d) Die Menge der Polynome  der Forme p(0)= 0 gilt


a) p1(x) = c1x und p2(x) = c2x  dann ist auch summe p1(x) p2(x) = (c2 + c1)x   und auch multiplikaiton: also ist es ein Uunterraum

kp_1(x) = k(c_1x) = (kc_1)xkp1​(x)=k(c1​x)=(kc1​)x

b) kein unterraum da p(x) = 0 nicht enthalten
c)p_1(x) = a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 und p_2(x) = a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2

p2​(x)=a2​x3+b2​x2+c2​x+d2​

p1​(x)=a1​x3+b1​x2+c1​x+d1​

dann ist auch  p_1(x) + p_2(x) = (a_1+a_2)x^3 + (b_1+b_2)x^2 + (c_1+c_2)x + (d_1+d_2)  und skalar drin vorhanden: kp_1(x) = k(a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1) = (ka_1)x^3 + (kb_1)x^2 + (kc_1)x + kd_1

d)p_1(x) = a_1x^n und p_2(x) = a_2x^m dann ist summe: p_1(x) + p_2(x) = a_1x^n + a_2x^m und skalara drin: kp_1(x) = k(a_1x^n) = (ka_1)x^n

kp1​(x)=k(a1​xn)=(ka1​)xn

p1​(x)+p2​(x)=a1​xn+a2​xm

p2​(x)=a2​xm

p1​(x)=a1​xn

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Student, Punkte: 10

 
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Und deine Frage? 
a), b), c) sind bis auf Tippfehler richtig, bei c) fehlt aber das Endergebnis: ist es nun ein UR oder nicht?
Bei d) sehe ich gar keinen Zusammenhang mit der Aufgabe. Es geht um alle Polynome, die einen gewissen Funktionswert gemeinsam haben.
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Also a,c,d sind welche und b ist kein Unterraum. Wie kann ich das am besten oder einfachsten beweisen?
   ─   lucy24 03.07.2024 um 23:02
Ergebnis stimmt (alle bis auf b) sind UR). Für d) musst Du halt zwei Polynome mit der Eigenschaft nehmen, also mit $p_1(0)=0$ und $p_2(0)=0$ und dann prüfen, ob die Summe, also das Polynom $p_1+p_2$ auch diese Eigenschaft hat.
Achte auf den Unterschied zwischen $p$ - ein Polynom, und $p(x)$ - Funktionswert eines Polynoms an der Stelle $x$.   ─   mikn 03.07.2024 um 23:15

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