Es geht dir sicherlich darum, dass \((a,b)\cup[b,c)=(a,c)\) für \(a<b<c\) ist. Es ist nach Definition \((a,c)=\{x\in \mathbb{R}: a<x<c\}=:M_1\) und \((a,b) \cup [a,c)=\{x\in \mathbb{R}: a<x<b\}\cup \{x \in \mathbb{R}: b\leq x< c\}=:M_2\). Zwei Mengen sind gleich,  wenn sie die selben Elemente haben, hier zeigt man oft beide Inklusionen: Ist \(x \in M_1\), dann ist \(a<x<c\). Es gibt jetzt die Fälle \(x<b\) und \(x\geq b\), im ersten Fal gilt \(x \in (a,b)\) und im zweiten \(x \in [b,c)\), also insgesamt \(x \in M_2\). Versuch die andere Inklusion mal selber, es ist sehr leicht.