Isomorphismus abbilden

Aufrufe: 60     Aktiv: 07.07.2021 um 09:17

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Aufgabenstellung: Sei ϕ : G → H ein Isomorphismus. Zeigen Sie, dass ϕ−1 : H → G ein Isomorphismus ist.
 
Die Aufgabe ist aus meiner Klausur, leider ist die Aufgabe als falsch oder unzureichend beantwortet markiert worden.

So weit bin ich: Ein ist Isomorphismus eine Abbildung zwischen zwei Strukturen, und werden abgebildet umkehrbar eindeutig (bijektiv).
Jedoch kann ich das anscheinend nicht richtig anwenden, bzw. würde mich über Hilfe freuen.

Vielen Dank.
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Dass die Umkehrfunktion einer Bijektion wieder bijektiv ist, sollte trivial sein. Wenn du da eine Erläuterungen willst, sag einfach bescheid. Nun zur Homomorphie: Sei \(a_1,a_2\in G\) und \(b_1,b_2\in H\) mit \(\Phi(a_1)=b_1\) und \(\Phi(a_2)=b_2\), dann gilt $$\Phi^{-1}(b_1\circ b_2)=\Phi^{-1}(\Phi(a_1)\circ \Phi(a_2))=\Phi^{-1}(\Phi(a_1\circ a_2))=a_1\circ a_2=\Phi^{-1}(b_1)\circ \Phi^{-1}(b_2)$$
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Vielen Dank für die Lösung, ich würde mich sehr über eine Erklärung freuen :)
  ─   dieeinzigwahre 07.07.2021 um 08:18

Damit \(\Phi^{-1}\) ein Homomorphismus ist, muss \(\Phi^{-1}(b_1\circ b_2)=\Phi^{-1}(b_1)\circ \Phi^{-1}(b_2)\) gelten. Ich habe bei meinen Umformung nur die Definition von \(b_1,b_2\) verwendet und die Linearität von \(\Phi\). Welcher Schritt ist dir unklar?   ─   mathejean 07.07.2021 um 09:17

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