Wir verwenden \(\tan y=\frac{\sin y}{\cos y}\) für Zähler und Nenner, um auf $$\frac{\tan(3x)}{\tan x}=\frac{\sin(3x)\cos x}{\sin x\cos(3x)}$$ Für den Grenzwert gilt $$\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\sin(3x)\cos x}{\sin x\cos(3x)}=\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\sin(3x)}{\sin(x)}\cdot\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\cos x}{\cos(3x)}$$ Im ersten Bruch kannst du einfach \(x=\frac\pi2\) einsetzen, für den zweiten verwende die Regel für L'Hopital.

Nutze die Formel  \( \tan(3x) = \frac{3 \tan x - \tan^3x}{1-3 \tan ^2 x} \) (findet man in Nachschlagewerken). Dann sucht nach man kürzen  den Grenzwert von \(\frac{3-\tan^2 x}{1-3 \tan^2 x} \). Kürzt man noch durch das Quadrat des Tangens so sieht man, das der gesuchte Grenzwert 1/3 ist. Ntfalls noch einmal nachfragen.

Es gibt drei (wahrscheinlich sogar noch mehr) Möglichkeiten:

(1) Bei \(\dfrac{\pi}{2}\) und bei \(\dfrac{3\pi}{2}\) geht der Tangens (je nachdem von welcher Seite man sich annähert) gegen unendlich (-unendlich). Damit hätte man bei \(\underset{x\longrightarrow \frac{\pi}{2})}{\lim} \dfrac{\tan(3x)}{\tan(x)}\) den Ausdruck "\(\frac{\infty}{\infty}\)".
Somit kann hier also L'Hospital angewendet werden. Verwende \(\dfrac{1}{\cos^2(x)}\) für die Ableitung des Tangens. Wenn du nach L'Hospital zusammenfasst, wirst du merken, dass du für \(x\longrightarrow \dfrac{\pi}{2}\) den Ausdruck "\(\frac{0}{0}\)" erhälst. Wende also nochmal L'Hospital an und dann solltest du mit dem entstehenden Term für \(x\longrightarrow \dfrac{\pi}{2}\) deinen Grenzwert erhalten. 

(2) Alternativ benutzt du, dass die Tangensfunktion der Quotient aus der Sinus- und Kosinusfunktion ist. Als schreibst du \(\tan(3x)=\dfrac{\sin(3x)}{\cos(3x)}\) und entsprechend \(\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\). Dann kannst du, wenn du die Additionstheoreme \(\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)\) und \(\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)\) bekannt ist, diese einsetzen und durch geschicktes umformen mit trigonometrischem Pythagoras und vielleicht sogar nochmaliger Benutzung von L'Hospital deinen Grenzwert finden.

(3) Ebenso kannst du, wenn du das Additionstheorem \(\tan(3x)=\dfrac{3\tan(x)-\tan^3(x)}{1-3\tan^2(x)}\) bekannt ist, dieses einsetzen und dann kürzt sich sehr schnell einiges weg, so dass der Grenzwert einfach übrig stehen bleibt.



Hoffe das hilft weiter.