Trigonomische Funktionen richtig vereinfachen

Aufrufe: 45     Aktiv: 05.02.2021 um 15:50

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Hallo , ich verstehe leider nicht wie sich trigonomische Funktionen vereinfachen lassen. Ich kenne die Regeln aber verstehe es nur nicht richtig also an der Anwendung der Regeln hapert es bei mir leider. Kann es jemand bitte verständlich erklären und bei Aufgabe 4 einen Ansatz liefern ?
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Wir verwenden \(\tan y=\frac{\sin y}{\cos y}\) für Zähler und Nenner, um auf $$\frac{\tan(3x)}{\tan x}=\frac{\sin(3x)\cos x}{\sin x\cos(3x)}$$ Für den Grenzwert gilt $$\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\sin(3x)\cos x}{\sin x\cos(3x)}=\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\sin(3x)}{\sin(x)}\cdot\lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\cos x}{\cos(3x)}$$ Im ersten Bruch kannst du einfach \(x=\frac\pi2\) einsetzen, für den zweiten verwende die Regel für L'Hopital.
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@stal war mir fast klar, dass du wieder schneller warst als ich 🤪 aber smart da braucht man die additionstheoreme für sin und cos nicht, ist mir spontan garnicht aufgefallen, dass es doch so einfach geht 🤙   ─   maqu 04.02.2021 um 19:44

Ich kann mir die ganzen Additionstheoreme nicht merken und bin zu faul, sie nachzuschlagen oder selbst herzuleiten; deswegen versuche ich immer, Aufgaben ohne sie zu lösen :)   ─   stal 05.02.2021 um 15:50

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Nutze die Formel  \( \tan(3x) = \frac{3 \tan x - \tan^3x}{1-3 \tan ^2 x} \) (findet man in Nachschlagewerken). Dann sucht nach man kürzen  den Grenzwert von \(\frac{3-\tan^2 x}{1-3 \tan^2 x} \). Kürzt man noch durch das Quadrat des Tangens so sieht man, das der gesuchte Grenzwert 1/3 ist. Ntfalls noch einmal nachfragen.
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Es gibt drei (wahrscheinlich sogar noch mehr) Möglichkeiten:

(1) Bei \(\dfrac{\pi}{2}\) und bei \(\dfrac{3\pi}{2}\) geht der Tangens (je nachdem von welcher Seite man sich annähert) gegen unendlich (-unendlich). Damit hätte man bei \(\underset{x\longrightarrow \frac{\pi}{2})}{\lim} \dfrac{\tan(3x)}{\tan(x)}\) den Ausdruck "\(\frac{\infty}{\infty}\)".
Somit kann hier also L'Hospital angewendet werden. Verwende \(\dfrac{1}{\cos^2(x)}\) für die Ableitung des Tangens. Wenn du nach L'Hospital zusammenfasst, wirst du merken, dass du für \(x\longrightarrow \dfrac{\pi}{2}\) den Ausdruck "\(\frac{0}{0}\)" erhälst. Wende also nochmal L'Hospital an und dann solltest du mit dem entstehenden Term für \(x\longrightarrow \dfrac{\pi}{2}\) deinen Grenzwert erhalten. 

(2) Alternativ benutzt du, dass die Tangensfunktion der Quotient aus der Sinus- und Kosinusfunktion ist. Als schreibst du \(\tan(3x)=\dfrac{\sin(3x)}{\cos(3x)}\) und entsprechend \(\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\). Dann kannst du, wenn du die Additionstheoreme \(\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)\) und \(\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)\) bekannt ist, diese einsetzen und durch geschicktes umformen mit trigonometrischem Pythagoras und vielleicht sogar nochmaliger Benutzung von L'Hospital deinen Grenzwert finden.

(3) Ebenso kannst du, wenn du das Additionstheorem \(\tan(3x)=\dfrac{3\tan(x)-\tan^3(x)}{1-3\tan^2(x)}\) bekannt ist, dieses einsetzen und dann kürzt sich sehr schnell einiges weg, so dass der Grenzwert einfach übrig stehen bleibt.



Hoffe das hilft weiter.
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Das hat mir tatsächlich sehr geholfen hab die Aufgabe jetzt zum Glück gelöst bekommen . Vielen dank für eure Hilfe :)   ─   derunwissende43 05.02.2021 um 15:15

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