Basis aus Eigenvektoren

Aufrufe: 134     Aktiv: 06.05.2022 um 22:03

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Hallo. Kennt sich da jemand besser aus?

       4 1 0
A = 1 4 0
       0 0 -6

Ich habe die Eigenwerte berechnet, diese wären mMn.: -6, 3 und 5!
Wie komme ich jetzt zu den Eigenvektoren? Indem ich Lamda einsetze, aber was dann? Für meine Aufgabe muss ich eine Basis von R^3 bestimmen, welche nur aus Eigenvektoren aus A besteht.

Danke schonmal im Voraus :)
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Ja, $\lambda$ einsetzen. Jede Lösung von $(A-\lambda I)x=0$ (außer dem Nullvektor) heißt Eigenvektor zu $\lambda$, steht in Deinen Unterlagen.
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Lehrer/Professor, Punkte: 23.98K

 

Ja, danke. Wenn ich dann die 3 Vektoren berechnet habe nehme ich dann einfach 2 von ihnen als Basis?   ─   chaosfr3ak 05.05.2022 um 16:26

Wieso zwei? Weißt Du, was eine Basis ist? Was Dimension bedeutet? Und das speziell für den R^3? Schau mal in Deine Unterlagen, steht alles da drin.   ─   mikn 05.05.2022 um 16:28

habe alle 3 Vektoren ausgerechnet, diese auf lineare unabhängigkeit geprüft. Dadurch dass sie unabhängig sind sind sie alle 3 die Basis von R^3. Hoffe das stimmt so...   ─   chaosfr3ak 05.05.2022 um 18:29

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Ja, stimmt. Eigenvektoren von verschiedene Eigenwerte sind immer linear unabhängig (gut zu merken)   ─   mathejean 05.05.2022 um 18:31

Vielen Dank für Ihre Zeit!   ─   chaosfr3ak 05.05.2022 um 18:40

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Dies ist eine einfach Konsequenz aus dem Spektralsatz für den Hilbertraum $H=\mathbb{R}^3$ ausgestattet mit dem euklidischen Standardskalarprodukt $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Wir können sehen, dass $A$ hier einen stetigen, selbstadjungierten Operator darstellt. Insofern können wir reele Zahlen $\lambda_i$ und Projektoren $P_i:H \to V_i$ ($i=1,2,3)$ mit $V_i$ dem Eigenraum zu $\lambda_i$ finden, so dass

$$A=\Sigma_{i=1}^3 \lambda_i P_i$$

gilt. Wir sehen sofort dass $-6\langle e_3, \cdot \rangle e_3$ einer der auftretenden Projektoren mit zugehörigen Vorfaktor sein muss. Mithilfe der Symmetry der Matrix $A'=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 &1 \end{pmatrix}$ sehen wir sofort, dass

$$ Av=-6\langle e_3, v \rangle e_3+5\langle e_1+e_2, v \rangle(e_1+e_2)+3\langle -e_1+e_2, v \rangle (-e_1+e_2) \qquad \forall v \in \mathbb{R}^3$$

gelten muss. Die entsprechenden Eigenvektoren lesen wir umgehend ab. Die Orthogonalität folgt direkt aus dem Spektralsatz.

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Wenn das die Frage zu einer Anfängervorlesung ist, ist diese Antwort gänzlich ungeeignet.   ─   cauchy 06.05.2022 um 22:03

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