Zunächst schreiben wir die Folgenterme um, damit die Rechnung ein wenig einfacher wird:

$$a_n=\frac{4n^2+1}{2n^2+2}=\frac{(4n^2+4)-3}{2n^2+2}=\frac{4n^2+4}{2n^2+2}-\frac3{2n^2+2}=2-\frac3{2n^2+2}.$$

Für \(n>m\in\mathbb N\) gilt dann $$a_n-a_m=\frac3{2m^2+2}-\frac3{2n^2+2}=\frac32\left(\frac{n^2-m^2}{(m^2+1)(n^2+1)}\right).$$ Jetzt wollen wir diesen Ausdruck nach oben abschätzen, deshalb machen wir den Zähler größer und den Nenner kleiner: $$a_n-a_m\leq\frac32\cdot\frac{n^2}{m^2n^2}=\frac3{2m^2}.$$

Für jedes \(\varepsilon>0\) lässt sich ein \(N\in\mathbb N\) finden mit \(2N^2\varepsilon>3\), z.B. \(N=\lfloor\sqrt{\frac{3}{2\varepsilon}}+1\rfloor\). Dann gilt für alle \(n>m\geq N\), dass $$a_n-a_m\leq\frac3{2m^2}\leq\frac3{2N^2}<\varepsilon.$$

Damit ist gezeigt, dass die Folge Cauchy ist.