Question

Wie berchnet man auf die punktweise und gleichmäßig konvergent für die 2 funktion

Aufrufe: 452 Aktiv: 17.01.2021 um 20:20

0

Teilen Diese Frage melden

gefragt 17.01.2021 um 17:09

aa
Punkte: 34

Kommentar schreiben

2 Antworten

0

Hallo aa

Also ich hätte dir hier einen Lösungsvorschlag wie ich es bei \(g_n\) gemacht hätte, jedoch bin ich mir nicht zu 100% sicher ob die gleichmässige Konvergenz so korrekt ist aber habe meines Erachtens ein gutes Ergebnis bekommen, das so stimmen könnte.

Schau es dir doch mal an, und bei Fragen melde dich einfach wieder.
Die Aufgabe mit \(h_n\) kannst du identisch lösen, jedoch wird da wahrscheindlich nicht das gleiche herauskommen, da du nun \(x\) in gewissen Situationen speziell betrachten musst.

Ich hoffe das hilft.

Teilen Diese Antwort melden Link

geantwortet 17.01.2021 um 18:06

karate
Student, Punkte: 1.95K

Die punktweise Konvergenz ist leider sehr diffus aufgeschrieben. Mit viel Aufwand erhältst du \( \frac{x-\frac{1}{n}}{1+2 (\frac{x}{n})^2} \), was aber nichts anderes ist als im ursprünglichen Term \( \frac{x-\frac{1}{n}}{1+2 \frac{x^2}{n^2}} \) einfach eine Klammer zu setzen. Und dann folgerst du wie selbstverständlich daraus den Limes \( x \). Also entweder kennst du den Limes von dem Anfangsterm schon vorher, dann kannst du dir die ganze Rechnerei sparen, oder aber du kennst den Limes von dem Anfangsterm nicht, dann kannst du aber auch eigentlich den Limes von dem Term mit Klammer nicht kennen. So oder so, die ganze Rechnerei ist überflüssig.
Dabei ist die Sache eigentlich nicht schwer. Es ist \( \lim_{n \to \infty} \frac{x-\frac{1}{n}}{1+2 \frac{x^2}{n^2}} \) \( = \frac{x- \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}{1+2x^2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}} \) \( = \frac{x-0}{1+2x^2 \cdot 0} = x \) für alle \( x \in [0,1] \).
Auch die gleichmäßige Konvergenz kann man so nicht durchgehen lassen. Das Supremum wird nämlich nicht immer bei \( x=0 \) angenommen, wie du es hier fälschlicherweise behauptest. Setze einfach mal \( n=2 \) ein. Dann wirst du sehen dass \( \vert g_2(0)-0 \vert = \frac{1}{2} \) ist, während \( \vert g_2(1)-1 \vert = \frac{2}{3} \) und damit größer ist.

─ 42 17.01.2021 um 18:50

also ja bei punktweiser Konvergenz hast du ja genau das gleiche gemacht nur noch den lim reingezogen, ich denke nicht dass das so ein unterschied macht denn man sieht ja sofort, dass \(\frac{1}{n}->0\) wenn \(n->\infty\). wie würdest du dann gleichmässige Konvergenz zeigen? bzw dass bei x=1 das ganze ein supremum ist ─ karate 17.01.2021 um 19:13

Ich würde den Satz von Dini anführen. \( (g_n)_{n \in \mathbb{N}} \) ist eine Folge stetiger Funktionen, die auf dem kompakten Intervall \( [0,1] \) definiert ist und die monoton wächst mit punktweisem Limes \( g(x)=x \). Damit muss die Folge auch gleichmäßig gegen \( g(x)=x \) konvergieren. ─ 42 17.01.2021 um 19:53

okei den kenn ich gar nicht sagt der genau das aus also muss man für diesen zeigen dass
1. Das Intervall kompakt ist.
2. Die Funktionenfolge monoton wachsend ist für alle x
3. der Punktweise Limes stetig ist ─ karate 17.01.2021 um 20:11

Ja, genau. ─ 42 17.01.2021 um 20:20

Kommentar schreiben

42 · Accepted Answer · 2021-01-17T20:18:17Z

Hier noch mal alles bisher gesagte zusammengefasst und noch ergänzt.

Es ist \( \lim_{n \to \infty} \frac{x-\frac{1}{n}}{1+2 \frac{x^2}{n^2}} \) \( = \frac{x- \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}{1+2x^2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}} \) \( = \frac{x-0}{1+2x^2 \cdot 0} = x \) für alle \( x \in [0,\infty) \), insbesondere also auch für alle \( x \in [0,1] \).

Damit kann man nun folgern, dass \( (g_n)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( (h_n)_{n \in \mathbb{N}} \) punktweise gegen \( g:[0,1] \to \mathbb{R}, g(x)=x \) und \( h:[0,\infty) \to \mathbb{R}, h(x)=x \) konvergieren.

Man prüft leicht nach, dass \( (g_n)_{n \in \mathbb{N}} \) monoton wächst. Außerdem sind alle \( g_n \) stetig und auf dem kompakten Intervall \( [0,1] \) definiert. Darüber hinaus ist auch der punktweise Limes \( g \) stetig. Somit folgt dann aus dem Satz von Dini, dass \( (g_n)_{n \in \mathbb{N}} \) gleichmäßig gegen \( g \) konvergiert.

Die Folge \( (h_n)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert hingegen nicht gleichmäßig. Wenn die Folge nämlich gleichmäßig konvergieren würde, dann müsste \( h \) der entsprechende Grenzwert sein. Wir erhalten jedoch \( \vert h_n(n) - h(n) \vert = \frac{2}{3}n + \frac{1}{3n} > \frac{2}{3} \) und somit \( sup_{x \in [0,\infty)} \vert h_n(x) - h(x) \vert > \frac{2}{3} \) und dann den Widerspruch \( 0 = \lim_{n \to \infty} sup_{x \in [0,\infty)} \vert h_n(x) - h(x) \vert \) \( \ge \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3} \) \( = \frac{2}{3} \).