Konvergenz einer Reihe

Aufrufe: 80     Aktiv: 03.09.2021 um 10:33

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Hallo,

Wie würdet ihr die Reihe auf Konvergenz überprüfen? Leider komme ich nicht auf die 1.
Also es ist ja offensichtlich dass es eine Teleskopsumme ist aber meine Berechnungen führen nicht auf die 1. 

Bedanke mich im Voraus
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\(\frac{2^k}{3^k}-\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}}=\frac{2^k}{3^k}(1-\frac{2}{3})\)
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Lehrer/Professor, Punkte: 4.61K

 

Vielen Dank!   ─   schahin632 03.09.2021 um 10:33

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Das geht über die geometrische Reihe, versuch einfach mal die Formel anzuwenden.
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Student, Punkte: 4.96K

 

Ich hab es darüber versucht aber mein q ist Betragsmäßig größer als 1, deswegen ist da etwas falsch.   ─   schahin632 02.09.2021 um 21:51

Würdest du es auf den gleichen Nenner bringen und dann zusammenfassen oder wie ?   ─   schahin632 02.09.2021 um 21:52

Genau!   ─   mathejean 03.09.2021 um 09:01

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Du musst zuerst die beiden Brüche gleichnamig machen.

Dann kannst Du ausklammern (einmal im Nenner, einmal im Zähler).

Erst dann hast Du eine geometrische Reihe in der üblichen Form - und es kommt auch insgesamt 1 heraus.
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Punkte: 1.29K

 

Wenn ich den ersten Bruch mit 3 erweitere habe ich doch den gleichen Nenner, oder ?
3^k * 3 = 3^k+1 richtig ?
  ─   schahin632 02.09.2021 um 22:02

Genau - nur die Schreibweise in Deinem Kommentar ist falsch: Du meinst 3^(k+1) - Klammersetzung wird benötigt, weil sonst Punktrechnung vor Strichrechnung gilt. Und die +1 gehört in den Exponenten, nicht hinter die Potenz wie bei 3^k * 3.   ─   joergwausw 02.09.2021 um 22:04

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Schreib Mal die ersten 3 Summanden explizit hin. Dann siehst du sehr schnell, was passiert.
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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 9.07K

 

ja, geht auch :-)   ─   joergwausw 02.09.2021 um 22:21

Das explizite Hinschreiben ist bei Summen immer sinnvoll (wenn einem sonst nichts einfällt). Da der Frager es schon als Teleskopsumme erkannt hat, sollte es hierbei (beim expliziten Hinschreiben) eigentlich keine neuen Erkenntnisse geben. Sollte.... eigentlich...
Jedenfalls ist das der einfachste Weg.
  ─   mikn 02.09.2021 um 22:29

Man sieht es schon aber mir ging es halt um die formale Rechnung für k—>unendlich   ─   schahin632 03.09.2021 um 03:38

Naja, da es eine Teleskopsumme ist, bleibt der erste und letzte Summand stehen. Der erste Summand ist 1. Was passiert mit dem letzten Summanden für $k\rightarrow \infty$?   ─   cauchy 03.09.2021 um 03:58

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