Hallo,

eine Darstellungsform einer Fourier-Reihe ist:

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))$$

Du hast schon richtig erkannt, es gilt:

$$\sin^2(t)=\frac{1}{2}(1-\cos(2t))$$

Damit kannst du deine Funktion umschreiben:

$$f(t)=4\sin^2\Bigl(\frac{\pi\cdot t}{2}-3\Bigr)=2\biggl(1-\cos\Bigl(\pi\cdot t-6\Bigr)\biggr)=2-2\cos\Bigl(\pi\cdot t-6\Bigr)$$

Jetzt hast du ein Problem, denn du hast noch eine Verschiebung von \(-6\).

Es kommt aber noch ein schönes Additionstheorem um die Ecke, dass dir aus der Patsche hilft:

$$\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$$

Was soll der Scheiß? Jetzt wird doch alles viel schlimmer! Oder? Wenden wir doch mal blind an:

$$f(t)=2-2\bigl(\cos(\pi\cdot t)\cos(-6)-\sin(\pi\cdot t)\sin(-6)\bigr)$$

Gut okay, wenigstens sind \(\cos(-6)\) und \(\sin(-6)\) nur Zahlen, wir können also durch \(a\) und \(b\) ersetzen, und merken uns, wie man sie ausrechnet:
$$a=-2\cos(-6)\quad\text{und}\quad b=2\sin(-6)$$

Damit gilt:

$$f(t)=2+a\cos(\pi\cdot t)+b\sin(\pi\cdot t)$$

Hilft dir das weiter? :)